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出版者:Houghton Mifflin Harcourt (HMH)

作者:David E. Heyd

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1994-1

價格:USD 51.56

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780669327113

叢書系列:

圖書標籤:

• Calculus
• 微積分
• 學習指南
• 解題指南
• 數學
• 高等數學
• 教材
• 輔導書
• 練習題
• 大學教材

《微積分精要與習題解析》圖書簡介 導論：踏入微積分的奇妙世界 微積分，作為現代數學的基石之一，是理解變化率、積纍總量以及連續過程的核心工具。它不僅是科學、工程、經濟學等眾多領域不可或缺的語言，更是培養邏輯思維和解決復雜問題能力的關鍵學科。然而，對於許多初學者而言，微積分的概念往往顯得抽象而難以捉摸，復雜的符號和定理也常常令人望而卻步。 本書，《微積分精要與習題解析》，正是為瞭彌閤理論與實踐之間的鴻溝而精心編撰。我們深知，掌握微積分並非僅僅依賴於死記硬背公式，更需要深刻理解其背後的幾何直觀和物理意義。因此，本書旨在提供一個結構清晰、邏輯嚴密、易於理解的學習路徑，帶領讀者從基礎概念穩步邁嚮高級應用。 本書核心理念：直觀理解與深度應用並重 本書的編寫遵循兩大核心原則：直觀性與完備性。我們力求在介紹每一個新概念時，首先建立清晰的幾何或物理圖像，幫助讀者“看見”變化和積纍是如何發生的，而不是僅僅停留在代數運算層麵。同時，我們確保覆蓋瞭標準微積分課程所需的所有核心內容，為讀者打下堅實的基礎。 第一部分：極限、導數與微分——變化之律的探索 本部分是微積分的起點，它定義瞭變化率的精確數學框架。 1. 極限的精確定義與計算： 我們將從直觀的“趨近”概念齣發，逐步引入 $epsilon-delta$ 語言的嚴謹性。書中包含瞭大量的極限計算實例，涵蓋瞭代數、三角函數、指數函數和對數函數的極限，特彆關注瞭無窮大和無窮小量的處理。我們通過圖形化分析，展示瞭極限在判斷函數連續性中的關鍵作用。 2. 導數的定義與幾何意義： 導數是瞬時變化率的度量。本書詳細闡述瞭導數作為切綫斜率的幾何意義，並通過平均變化率過渡到瞬時變化率的嚴格定義。我們係統地推導和應用瞭基本微分法則，包括冪法則、乘積法則、商法則以及最重要的鏈式法則。鏈式法則的深入講解，配閤多步復閤函數的示例，確保讀者能夠熟練處理復雜的函數結構。 3. 微分的應用與相關變化率： 導數的應用是其價值的體現。本章聚焦於導數在近似計算中的作用（微分 $dy$ 與 $Delta y$ 的關係），以及在“相關變化率”問題中的應用。通過真實世界場景的建模，如氣球膨脹、梯子滑動等，展示如何利用時間對變量進行求導，從而解決動態係統中的問題。 4. 隱函數求導與反函數導數： 針對那些不易顯式錶達的函數關係，我們詳細介紹瞭隱函數求導的技巧。此外，對於三角函數、指數函數和對數函數及其反函數的求導，本書提供瞭詳盡的步驟和證明，確保讀者理解這些基本函數的導數公式是如何推導齣來的。 第二部分：導數的應用——洞察函數行為 掌握瞭導數這一工具後，我們便可以利用它來深入分析函數的特性，揭示其圖像的全部奧秘。 1. 洛必達法則與不定式極限： 本章專門處理那些在極限計算中遇到的 $0/0$ 或 $infty/infty$ 等不定式。洛必達法則是解決這類問題的利器，本書提供瞭該法則的嚴格證明及其適用條件，並配以大量需要熟練運用洛必達法則的例題。 2. 函數的增減性、極值與最優化問題： 一階導數揭示瞭函數的升降趨勢。我們詳細闡述瞭如何利用導數的正負性判斷區間單調性。隨後，通過極值點測試（一階和二階導數檢驗），定位函數的局部最大值和最小值。最優化問題是微積分在工程和經濟學中最直接的應用，本書提供瞭一套係統性的解題流程，指導讀者如何建立數學模型並求解實際問題中的最大利潤或最小成本。 3. 麯綫的形狀分析與描繪： 二階導數提供瞭關於函數凹凸性和拐點的信息。本書將凹凸性與二階導數的符號聯係起來，並解釋瞭拐點如何指示麯綫彎麯方嚮的變化。通過綜閤利用一階導數、二階導數信息以及極限分析（漸近綫），讀者將能夠精確地描繪齣任意函數的完整圖像。 4. 均值定理與泰勒多項式： 羅爾定理和拉格朗日中值定理是微積分理論的基石，它們為導數與函數值之間的關係提供瞭嚴格的保證。在此基礎上，我們引入泰勒定理，這是理解函數局部行為和進行近似計算的強大工具。泰勒多項式的構造和餘項的分析，為讀者後續學習傅裏葉級數和微分方程打下堅實基礎。 第三部分：積分學——纍積與麵積的藝術 積分學是微積分的另一半，它關注於量化纍積過程，從計算麯綫下麵積到求解物理學中的功和質心。 1. 定積分的幾何意義與黎曼和： 我們從計算不規則區域麵積的嘗試齣發，引入瞭極限的概念，最終定義瞭定積分——黎曼和的極限。本書詳細剖析瞭黎曼和的構造，強調瞭分區、取樣點選擇以及 $Delta x o 0$ 的過程，確保讀者對定積分的“無限求和”本質有深刻理解。 2. 微積分基本定理： 這是連接微分與積分的橋梁，也是微積分的精髓所在。本書清晰地闡述瞭微積分基本定理的第一部分（牛頓-萊布尼茨公式）和第二部分，並提供瞭嚴格的證明思路。該定理極大地簡化瞭定積分的計算，使之成為可能。 3. 不定積分與積分技巧： 不定積分的求解是積分學計算的核心。本書係統地介紹瞭各種積分技巧，包括： 換元積分法（U-Substitution）： 強調識彆被導函數和結構相似性。 分部積分法（Integration by Parts）： 提供瞭選擇 $u$ 和 $dv$ 的啓發式策略（LIATE 法則）。 三角代換法： 針對含有 $sqrt{a^2-x^2}$、$sqrt{a^2+x^2}$ 等形式的積分。 三角函數的積分： 針對冪次較高的正弦、餘弦、正切、正割函數的係統處理方法。 有理函數的積分（部分分式分解）： 詳細展示瞭如何對分母進行因式分解，並將復雜有理函數拆解為可積分的簡單項。 4. 積分的應用： 積分在解決實際問題中展現齣驚人的威力。本章涵蓋瞭： 麵積與體積： 介紹圓盤法、圓環法和截麵法（或稱薄片法）計算鏇轉體的體積。 弧長與麯麵積分： 計算麯綫的長度以及由麯綫繞軸鏇轉所形成的麯麵的麵積。 物理應用： 包括計算功、壓力中心和質心。通過對物理概念的精確數學建模，讀者能體會到積分在工程計算中的不可替代性。 5. 不定積分與廣義積分： 本部分最後探討瞭積分的“不適宜”情況。我們分析瞭反常積分（廣義積分）的斂散性判斷，包括積分限為無窮大或被積函數在區間內有不連續點的情況，這是對積分概念的進一步深化和拓展。 結語 《微積分精要與習題解析》的結構設計旨在提供一個循序漸進、高度連貫的學習體驗。我們相信，通過對本書中詳盡的例題和步驟分解的深入學習，讀者不僅能掌握微積分的運算技能，更能領悟其背後的深刻數學思想，為未來在量化科學領域的深造打下最堅實的基礎。本書是課堂學習的有力補充，也是自我提高的優秀指南。

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