Gröbner Bases and Applications (London Mathematical Society Lecture Note Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Burchberger Winkler; Burchberger/Winkler; Buchberger, Bruno

出品人:

页数:564

译者:

出版时间:1998-03-28

价格:USD 100.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521632980

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

• Gröbner bases
• Commutative algebra
• Polynomial rings
• Computational algebra
• Algebraic geometry
• Coding theory
• Cryptography
• Singularity theory
• Computer science
• Mathematics

格罗布纳基与应用：探索代数几何的强大工具 格罗布纳基（Gröbner bases），作为计算代数几何（computational algebraic geometry）领域一颗璀璨的明珠，其深邃的理论内涵与广泛的应用潜力，吸引了无数数学家和计算机科学家的目光。这本书《格罗布纳基与应用》（Gröbner Bases and Applications）正是为深入理解这一强大工具及其在各个分支的杰出贡献而精心编撰的。本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，不仅揭示格罗布纳基的构造方法、理论性质，更着重于阐释它们如何成为解决复杂代数问题、连接代数几何与其他数学分支的桥梁。 本书的撰写，力求在理论的严谨性与应用的直观性之间取得平衡。它并非仅仅罗列枯燥的定义与定理，而是通过精心的组织和丰富的实例，引导读者一步步领略格罗布纳基的魅力。从最基础的概念出发，逐步深入到更高级的理论，再到跨越不同学科的应用，本书为读者构建了一个完整而清晰的学习路径。 第一部分：格罗布纳基的基石 在本书的开篇，我们首先奠定扎实的理论基础。这一部分将详细介绍多项式环（polynomial rings）的基本概念，包括理想（ideals）、商环（quotient rings）以及各种单项式序（monomial orders）。理解这些基本概念对于掌握格罗布纳基的构造至关重要，因为格罗布纳基的定义与计算过程与单项式序的选择紧密相连。 随后，本书将深入探讨希尔伯特基（Hilbert basis）定理，并在此基础上引出初等理想（initial ideals）的概念。初等理想是理解格罗布纳基的关键。接着，我们将正式引入格罗布纳基的定义，并详细阐述其核心性质，例如它能简化多项式，以及其在理想等价性判断中的作用。 本书的一大亮点在于对格罗布纳基构造算法的详细解析。我们将深入探讨 Buchberger 算法，这是构建格罗布纳基最著名和最基本的方法。我们会详细讲解算法的每一步，包括 S-多项式（S-polynomials）的计算、约化（reduction）过程以及终止性分析。同时，也会介绍一些更优化的算法，以及如何处理各种特殊的单项式序，例如字典序（lexicographical order）、全词序（graded lexicographical order）等，并讨论不同序对计算效率和结果的影响。 此外，本书还将介绍简规约（reduced Gröbner bases）的概念，以及如何获得它们。简规约具有唯一性，这使得它在理论和应用中更加强大。 第二部分：格罗布纳基的核心理论与性质 在掌握了格罗布纳基的构造方法后，本书将进一步深入其核心理论。这一部分将探讨格罗布纳基在代数几何中的关键作用，特别是它们如何与代数簇（algebraic varieties）的几何性质紧密相连。 我们将详细讲解零点定理（Nullstellensatz），并展示格罗布纳基如何成为证明和应用该定理的强大工具。它能够帮助我们判断一个多项式是否属于某个理想，从而判断一个点是否位于由一组多项式定义的代数簇上。 本书还将深入探讨理想的消元（elimination of variables）。格罗布纳基提供了一种系统性的方法来消去多项式方程组中的变量，这对于求解方程组、研究代数簇的投影等问题至关重要。我们将展示如何构造特定序下的格罗布纳基来实现这一目标，并讨论其在几何上的意义。 另一个重要的主题是环的维度（dimension of rings）和代数簇的维度。格罗布纳基能够提供计算这些维度的有效方法，从而帮助我们理解代数簇的几何复杂性。 此外，本书还将涵盖理想的交集（intersection of ideals）、商（quotient of ideals）以及双边理想（two-sided ideals）等更高级的概念，并展示格罗布纳基在处理这些复杂代数结构中的应用。 第三部分：格罗布纳基在各领域的应用 理论的深度最终体现在其广泛的应用。本书的第三部分将聚焦于格罗布纳基在数学及其他相关领域的精彩应用。 代数几何与几何建模： 格罗布纳基在研究代数簇的性质、计算代数簇的交集、分析奇异点等方面发挥着核心作用。它们也被用于几何建模，例如在计算机辅助设计（CAD）系统中，利用格罗布纳基可以精确地表示和操作复杂的曲线和曲面。 方程组的求解： 这是格罗布纳基最直观的应用之一。对于非线性代数方程组，格罗布纳基提供了一种系统的方法来将其转化为一个更易于求解的“准形”（canonical form），从而求解出所有可能的解。本书将通过具体的例子展示如何运用格罗布纳基求解各种复杂的方程组。 编码理论： 在纠错码（error-correcting codes）的设计和解码过程中，格罗布纳基也展现出强大的能力。特别是在线性编码和多项式编码（polynomial codes）的研究中，格罗布纳基能够帮助设计出性能优越的编码方案，并加速解码过程。 密码学： 格罗布纳基在密码学领域也有着重要的应用，尤其是在对一些基于多项式方程的密码系统进行攻击分析时。理解格罗布纳基的计算复杂性，对于评估密码系统的安全性至关重要。 机器人学： 在机器人路径规划、逆运动学求解等问题中，往往需要解决复杂的非线性方程组。格罗布纳基为这些问题提供了强大的数学工具，能够有效地计算出机器人的运动轨迹。 其他领域： 除了上述领域，本书还将简要介绍格罗布纳基在凸优化、形式语言理论、生物信息学等其他新兴领域的潜在应用，展示其跨学科的巨大潜力。 本书的特色与目标读者 《格罗布纳基与应用》一书的特色在于其内容的系统性、理论的严谨性以及应用的广泛性。它不仅为数学专业的学生和研究人员提供了深入理解格罗布纳基理论的宝贵资源，也为计算机科学家、工程师以及对代数方法在科学技术中应用感兴趣的读者提供了深刻的见解。 本书假定读者具备一定的抽象代数和基础计算机科学知识。对于初学者，可以通过循序渐进的学习，逐步掌握格罗布纳基的核心概念。对于有经验的研究者，本书将提供更深入的理论探讨和最新的应用方向。 总而言之，本书致力于将格罗布纳基这一强大的数学工具，从抽象的理论层面，带到生动的应用实践中，展现其在解决现实世界复杂问题时的非凡力量。通过阅读本书，读者将不仅能够掌握格罗布纳基的计算技巧，更能够深刻理解其背后的数学思想，并能够灵活运用这些思想去探索更广泛的科学前沿。

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