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出版者:Wiley-Interscience

作者:Ivan Singer

出品人:

頁數:491

译者:

出版時間:1997-8-14

價格:USD 209.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780471160151

叢書系列:

圖書標籤:

• 凸分析
• 數學分析
• 優化理論
• 泛函分析
• 非綫性規劃
• 凸優化
• 數學
• 高等教育
• 理論基礎
• 應用數學

Abstract Convex Analysis: 探索數學宇宙的抽象基石 《Abstract Convex Analysis》並非一本僅僅堆砌定義與定理的冷峻學術著作，而是一扇通往數學深邃思想殿堂的窗口，一次對“凸性”這一核心數學概念進行深度挖掘與抽象升華的旅程。它旨在超越特定幾何形狀或函數形式的限製，將凸性這一本質屬性提煉齣來，並在更廣闊的數學框架下進行研究。本書的每一頁都洋溢著嚴謹的邏輯推理，閃耀著抽象數學的智慧光芒，其內容之豐富、視角之新穎，必將吸引所有對數學理論有深入探索欲望的讀者。 本書核心主旨： 本書的核心在於對“凸性”進行高度抽象化處理，使其能夠應用於更廣泛的數學對象和理論體係。傳統意義上的凸集、凸函數等概念，往往與歐幾裏得空間中的幾何直覺緊密相連。然而，《Abstract Convex Analysis》將挑戰這種局限，通過引入更普遍的數學結構，如嚮量格、序關係、度量空間，甚至更抽象的代數或拓撲結構，來重新定義和研究凸性。這意味著，本書將不僅僅局限於我們熟悉的實數空間，而是將凸性這一強大的分析工具，延伸至數學的各個前沿領域。 內容深度解析： 本書的敘述將循序漸進，從基礎的抽象概念引入，逐步構建起宏偉的理論大廈。 第一部分：抽象凸性的基礎 超越幾何直覺的定義： 本部分將徹底顛覆讀者對凸性的傳統認知。我們將引入不依賴於具體嵌入空間的“抽象凸集”的定義。這可能通過諸如“集閤的任意兩個點之間的連接綫段（在某種抽象意義下）仍然包含於該集閤”的思想來形式化，但其錶達方式將更加一般化，可能涉及序關係、同態映射或特定代數運算。例如，在半格（semilattice）或格（lattice）結構中，我們可以定義“上確界”或“下確界”運算，並以此來刻畫“連接”的抽象概念，從而定義抽象的凸集。 一般化序理論與凸性： 序關係在抽象凸性中扮演著至關重要的角色。本書將深入探討各種序理論，如偏序集（partially ordered sets）、全序集（totally ordered sets）、預序集（preordered sets）以及更復雜的代數序結構。我們將研究在這些序結構上如何定義“凸”的概念。例如，一個關於序關係的“凸集”可能意味著，若兩個元素屬於該集，那麼它們之間的所有“中間”元素（根據序關係定義）也屬於該集。這為研究如拓撲空間上的序集、函數空間上的序集等提供瞭強大的分析工具。 代數結構中的凸性： 本書還將探索在各種代數結構中引入凸性的可能性。這可能包括群、環、域、嚮量空間，甚至更復雜的代數對象。例如，在嚮量空間中，我們將研究“凸子空間”的概念，它可能不僅僅是我們熟悉的具有“直綫段”性質的子空間，而是通過某些代數運算（如凸組閤的推廣）來定義的。又比如，在某些代數結構中，可能存在一個“序”的概念，而我們研究的是在這個序下保持“凸性”的代數子結構。 第二部分：抽象凸函數的理論 超越實值函數的範疇： 傳統的凸函數通常定義在實值函數上。本書將極大地擴展這一概念，將“抽象凸函數”定義在更一般的函數空間或映射上。這些函數的值域可能不再是簡單的實數，而是可以是其他數學對象，如嚮量、集閤、其他代數結構中的元素，甚至可能是模糊集或概率測度。 凸性的性質與刻畫： 盡管函數的值域變得抽象，但我們仍將研究這些抽象凸函數的關鍵性質，如下半連續性（或其在抽象空間中的推廣）、單調性、極值點的存在性等。本書將提供多種刻畫抽象凸函數的方法，這些方法可能依賴於前麵介紹的抽象凸集和序理論。例如，一個抽象凸函數可能滿足某種“詹森不等式”（Jensen's inequality）的抽象形式，或者可以通過其“次梯度”（subgradient）的抽象概念來刻畫。 凸函數的運算與組閤： 許多重要的分析結果都依賴於對凸函數進行運算，如加法、取最大值、復閤等。本書將研究在抽象框架下，這些運算如何保持凸性，以及由此産生的新的抽象凸函數。例如，兩個抽象凸函數之和（若“加法”在此抽象結構中有定義且保持凸性）仍然是抽象凸函數。 範疇論視角下的凸性： 為瞭提供更統一的視角，《Abstract Convex Analysis》可能會引入範疇論（category theory）的思想。通過將不同的數學結構和映射視為範疇中的對象和態射，我們可以從一個更高的維度來理解凸性的本質。本書將探討如何用範疇論的語言來描述抽象凸集、抽象凸函數及其之間的關係，從而揭示不同數學領域中凸性概念的內在聯係。 第三部分：抽象凸分析的應用與發展 理論聯係實際： 本部分將展示抽象凸性理論在不同數學分支中的實際應用。這可能包括： 優化理論的抽象化： 將非綫性規劃、凸優化等理論推廣到更一般的空間，解決在傳統框架下難以處理的問題。例如，在無限維空間、分布式係統或模糊環境中進行優化。 數值分析的創新： 為開發新的數值算法提供理論基礎，例如在迭代算法、逼近理論中利用抽象凸性來保證收斂性或分析誤差。 概率論與統計學的擴展： 在度量空間、Banach空間等環境下研究概率測度的凸性，這對於諸如集中不等式、核方法等有重要意義。 信息論與機器學習的連接： 探索信息度量（如 Kullback-Leibler 散度）的凸性在機器學習中的應用，例如在統計推斷、模型選擇等領域。 偏微分方程與動力係統的研究： 在某些非綫性偏微分方程或動力係統的分析中，可能涉及到解空間的某些“凸性”性質，本書的理論將為此提供新的分析工具。 組閤數學與圖論的抽象視角： 即使在看似離散的領域，也可能存在抽象的凸性概念，例如在某些圖結構或組閤對象的定義中。 前沿研究方嚮的指引： 本書的最後部分還將展望抽象凸性分析的未來發展方嚮，提齣可能的研究課題和挑戰。這包括但不限於： 連續性與可微性在抽象空間中的刻畫： 如何在高度抽象的空間中定義和研究函數的連續性、可微性，並與抽象凸性相結閤。 對偶理論的推廣： 經典的凸分析中有強大的對偶理論，本書將探討如何將對偶性思想推廣到抽象框架下，以解決更復雜的問題。 非凸性問題的分析： 在理解和處理非凸性問題時，抽象凸性理論可能提供反嚮的視角，幫助我們理解非凸性産生的根源以及與之相關的結構。 與其他數學領域的交叉： 探索抽象凸性分析與拓撲學、代數幾何、泛函分析等其他數學分支的更深層次的交叉與融閤。 本書特點： 《Abstract Convex Analysis》的寫作風格將是清晰、嚴謹且富有啓發性的。本書將力求避免不必要的術語堆砌，而是注重概念的內在邏輯和相互聯係。盡管內容抽象，但作者將努力通過精心設計的例子和論證，幫助讀者理解這些深奧的概念。本書的讀者群將涵蓋數學專業的研究生、博士生、青年學者以及任何對現代數學前沿有強烈好奇心的數學愛好者。對於希望在數學領域進行原創性研究，或者希望將數學思想應用到更廣泛領域的讀者而言，本書無疑是不可或缺的寶貴資源。 總而言之，《Abstract Convex Analysis》是一部具有裏程碑意義的著作，它將數學傢們研究“凸性”的目光從傳統的歐幾裏得空間推嚮瞭更廣闊、更抽象的數學宇宙。本書不僅會加深我們對凸性本質的理解，更將為解決當今數學和科學領域麵臨的諸多挑戰提供全新的視角和強大的工具。它是一次對數學思想的深刻洗禮，一次對抽象之美的極緻追求。

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