Positive Operators, Riesz Spaces, and Economics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Border, Kim C.; Luxemburg, Wilhelmus A. J.; Aliprantis, Charalambos D.

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:1991-12-18

价格:USD 117.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540546580

丛书系列:

图书标签:

• Positive Operators
• Riesz Spaces
• Economics
• Functional Analysis
• Operator Theory
• Mathematical Economics
• Order Theory
• Convexity
• Optimization
• Mathematical Finance

运算子、李氏空间与经济学的交汇：数学工具在经济分析中的深度应用 本书并非一本简单的数学教科书，也非一本纯粹的经济学理论著作。相反，它深入探索了抽象数学工具——特别是正算子（Positive Operators）和李氏空间（Riesz Spaces）——在现代经济学理论及其前沿问题中的强大应用潜力。本书旨在为读者提供一个全新的视角，理解数学的严谨性如何能够量化、建模并最终解决那些困扰经济学家多年的复杂难题。 一、 核心数学概念的引入与经济学视角下的诠释 本书的首部分将奠定坚实的理论基础，详细介绍正算子和李氏空间的核心概念，并着重从经济学的角度来解读这些抽象概念的意义。 正算子（Positive Operators）： 在数学上，正算子是指那些将非负元素映射到非负元素的算子。在经济学中，这可以被形象地理解为一种“价值守恒”或“资源增值”的映射。例如，在一个经济模型中，一个代表生产过程的算子，如果输入的是某种数量的资本和劳动力（非负），其输出的商品和服务也应该是非负的。正算子理论为我们分析经济系统的动态演变、资源的配置效率以及投资的回报率等问题提供了严谨的数学框架。我们会探讨各种类型的正算子，如成对线性算子（pairwise linear operators）、全序算子（totally ordered operators）等，并结合具体的经济情境，例如生产函数、投资组合选择、市场均衡等，来阐述其在这些场景下的直观含义。我们将不仅仅停留在定义层面，更会深入到算子代数的性质，例如算子之间的乘法、求和以及它们如何影响经济系统的整体行为。 李氏空间（Riesz Spaces）： 李氏空间，又称为向量格（vector lattices），是具备了格运算（即取最大值和最小值）的向量空间。在经济学中，李氏空间提供了一个处理“可比较性”和“排序性”的天然框架。经济主体在做决策时，总是需要在不同的选项之间进行比较和排序，而李氏空间正是为此而设计的。例如，消费者效用函数的比较、风险的排序、资产的偏好顺序等，都可以在李氏空间中得到恰当的数学描述。我们将详细介绍李氏空间的基本结构，如子格（sublattices）、理想（ideals）、滤子（filters）等，并重点关注其核心性质，例如戴德金完备性（Dedekind completeness）和完备性（completeness）。这些性质对于分析无穷维经济模型，特别是处理无限期模型和不确定性下的决策至关重要。本书将展示如何将经济学中的许多关键概念，如“可支付性”（affordability）、“可行性”（feasibility）和“偏好”（preference）等，映射到李氏空间中的特定结构。 二、 正算子与李氏空间在经济模型中的具体应用 在打下坚实的理论基础后，本书将进入更为具体的应用层面，系统地阐述正算子和李氏空间如何在不同的经济学分支中发挥作用。 动态经济学与最优增长模型： 在动态经济学中，我们经常需要分析经济体如何随时间增长，以及如何做出最优的资本积累和消费决策。正算子在刻画经济系统的动态演变过程中扮演着至关重要的角色。例如，一个代表经济增长的迭代过程可以被建模为一个正算子。李氏空间则为分析消费者在不同时间点上的效用，以及不同世代之间的资源分配提供了严谨的数学工具。本书将深入探讨如何利用正算子和李氏空间来分析经典的奥曼-戈尔德伯格（Oman-Goldberg）模型、卢卡斯（Lucas）模型等，并研究这些模型在存在不确定性、外部性或信息不对齐时的行为。我们将重点关注均衡路径的存在性、唯一性以及稳定性，并利用算子理论来分析这些性质。 资产定价与金融经济学： 金融市场是经济学中应用数学工具最为活跃的领域之一。在资产定价中，我们经常需要处理风险和不确定性，并对不同资产的未来收益进行评估。正算子可以用来描述资产的现金流、投资组合的收益以及风险度量。李氏空间则为比较不同投资策略的风险收益特征，以及分析无套利定价（no-arbitrage pricing）等核心概念提供了数学支持。我们将探讨如何在李氏空间中定义和处理风险资产，研究期权定价模型（如布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型）的推广，以及利用正算子理论来分析市场效率和资产组合优化。此外，对于复杂金融衍生品的定价，例如路径依赖期权（path-dependent options），正算子和李氏空间也提供了强大的分析工具。 市场均衡与博弈论： 市场均衡的实现是经济学研究的核心问题之一。本书将展示如何利用正算子和李氏空间来分析一般均衡模型（general equilibrium models），特别是涉及无穷多商品、无穷多参与者或非凸集合的复杂情形。例如，我们可以将市场出清映射（Walrasian correspondence）建模为一个正算子，并利用其在李氏空间中的性质来证明均衡的存在性。在博弈论方面，李氏空间为定义和分析策略空间、支付函数以及纳什均衡（Nash equilibrium）等概念提供了严谨的数学框架。我们将探讨如何将重复博弈（repeated games）、不完全信息博弈（games with incomplete information）等复杂博弈模型纳入到李氏空间的研究范畴，并利用正算子来刻画博弈中的动态演化和策略更新过程。 分布式计算与算法经济学： 随着技术的发展，分布式计算和算法在经济活动中扮演着越来越重要的角色。本书将探讨如何利用正算子和李氏空间来分析分布式经济系统，例如在去中心化金融（DeFi）或区块链技术中的应用。我们可以将交易的清算过程、信息的传递机制建模为正算子，并利用李氏空间来分析这些系统的稳定性、效率和公平性。此外，本书还将触及算法经济学，即研究算法在经济决策中的应用，例如拍卖算法、匹配算法等，并分析这些算法的性质，如激励相容性（incentive compatibility）、个体理性（individual rationality）等，这些都可以用正算子和李氏空间中的概念来严谨地定义和分析。 三、 高级数学工具与前沿经济学问题的探索 本书的后半部分将进一步深入，将正算子和李氏空间与其他先进的数学工具相结合，用以解决经济学前沿的、更具挑战性的问题。 度量空间理论与经济不确定性： 本书将探讨如何利用度量空间（metric spaces）和概率测度（probability measures）的理论，结合正算子和李氏空间，来处理经济学中的不确定性。例如，在随机最优控制（stochastic optimal control）中，我们可以将状态变量的空间以及随机扰动的分布置于一个合适的李氏空间中，并利用正算子来描述控制律的演化。我们将研究如何利用紧致性（compactness）、完备性等度量空间性质来保证最优解的存在性，并分析不同不确定性度量下的决策行为。 泛函分析与经济模型的可视化与理解： 泛函分析（functional analysis）作为正算子和李氏空间的研究基础，本书将深入挖掘其在经济模型中的应用。例如，通过分析算子谱（spectral analysis of operators），我们可以揭示经济系统的内在结构和关键驱动因素。我们将讨论如何利用算子理论中的特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）来理解经济变量之间的耦合关系，并分析系统的长期行为。此外，本书还将触及一些更高级的泛函分析概念，如希尔伯特空间（Hilbert spaces）和巴拿赫空间（Banach spaces），以及它们在特定经济模型中的潜在应用。 概率论与经济主体的行为建模： 概率论是分析不确定性下经济行为的基石。本书将展示如何将概率测度置于李氏空间中，例如L^p空间，并利用正算子来刻画经济主体对风险的偏好和规避行为。我们将深入研究基于期望效用理论（expected utility theory）和非期望效用理论（non-expected utility theory）的决策模型，并分析它们在不同概率分布下的表现。例如，在分析投资组合时，我们可能需要处理高维概率分布，这时泛函分析中的工具将显得尤为重要。 微分方程与经济动力学的连续时间建模： 许多经济现象都可以用微分方程来描述。本书将探讨如何将正算子和李氏空间与微分方程理论相结合，以分析经济系统的连续时间动态。例如，可以将表示经济变量变化的微分方程组视为一个抽象的微分算子，并利用其在李氏空间中的性质来分析其解的存在性、唯一性和稳定性。我们将研究如何利用半群理论（semigroup theory）来分析经济系统的长期演化，并探讨控制理论（control theory）在优化经济目标方面的应用。 四、 学习与研究的价值 本书不仅为经济学家提供了一个理解和应用先进数学工具的桥梁，也为数学家提供了一个探索抽象理论在实际问题中应用的新视角。通过本书的学习，读者将能够： 掌握一套强大的数学分析工具： 深入理解正算子和李氏空间的核心概念及其在经济学中的直观意义，并能够运用这些工具解决实际问题。 提升经济学理论研究的严谨性： 能够将经济学中的直觉和假设转化为严谨的数学模型，从而更深入地分析经济现象。 拓展经济学前沿问题的研究思路： 能够利用本书介绍的数学方法，为解决那些尚未完全解决的经济学难题提供新的研究方向。 促进数学与经济学之间的交叉融合： 鼓励读者在跨学科领域进行更深入的探索和研究，为经济学理论的发展注入新的活力。 本书适合于高等院校经济学、数学、金融学等相关专业的硕博士研究生，以及对运用先进数学方法研究经济问题感兴趣的学者和研究人员。本书的阅读需要一定的数学基础，特别是线性代数、实变函数和基础泛函分析的知识，但作者将尽量以清晰易懂的方式介绍相关概念，并辅以大量的经济学实例，使得读者能够循序渐进地掌握这些复杂而强大的工具。

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