Geometry of Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Morris Marden

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:1970-12-31

价格:USD 60.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821815038

丛书系列:

图书标签:

• Polynomials
• Geometry
• Algebraic Geometry
• Commutative Algebra
• Multivariate Polynomials
• Polynomial Rings
• Ideal Theory
• Elimination Theory
• Computational Algebra
• Symbolic Computation

《多项式的几何学》 内容梗概： 《多项式之几何》是一部深入探讨多项式与几何学之间深刻联系的学术专著。本书旨在为读者展现数学的另一番景象，揭示抽象代数对象——多项式——如何在几何空间中拥有直观而丰富的形态。通过系统的理论阐述和翔实的例证，本书引导读者理解如何利用几何的语言来解析多项式的性质，以及如何通过多项式的代数结构来刻画和描述几何对象。 全书围绕多项式方程的根与几何图形之间的对应关系展开。我们首先从最基本的多项式方程——线性方程和二次方程——入手，将其几何意义（直线和抛物线）娓娓道来。随后，将视角拓展到更高次的多项式，探讨它们所对应的曲线和曲面的复杂几何形态。本书重点关注多项式根的分布、重根、复根等代数性质如何映射到几何图形的特征上，例如曲线的交点、切线、奇点等。 本书的一大亮点在于对代数几何这一数学分支的初步介绍。代数几何是研究代数方程组的几何对象的学科，而多项式正是代数几何中最核心的工具。我们将带领读者领略代数簇（algebraic varieties）的魅力，理解它们如何由多项式方程定义，以及这些几何对象所拥有的深刻代数结构。例如，本书会详细讨论多项式环的性质如何决定代数簇的维度、连通性以及其他拓扑和几何特性。 此外，本书还深入探讨了多项式的根分布问题在几何上的体现。例如，实根的数量对应于多项式曲线与实轴的交点个数；复根的共轭性质则对应于曲线在复平面上的对称性。我们还将介绍一些经典的几何问题，如尺规作图问题，是如何通过多项式的代数性质来判断其可解性的，这其中蕴含着深刻的伽罗瓦理论与几何的交织。 本书的另一个重要主题是多项式的几何变换。我们将研究多项式如何描述各种几何变换，例如旋转、平移、伸缩以及更复杂的仿射变换和射影变换。理解这些变换在多项式方程和曲线上的作用，有助于我们更好地理解几何图形的对称性、不变性以及它们之间的关系。 为了更清晰地呈现多项式的几何本质，本书穿插了大量的图示和实例。读者将看到各种多项式曲线和曲面的精美图像，并能直观地感受到代数性质如何在几何上得到体现。从简单的二次曲线到高维空间的代数簇，每一种几何对象都将与定义它的多项式紧密相连。 本书的结构设计循序渐进，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论。我们假定读者具备一定的大学数学基础，包括线性代数、微积分和基础的抽象代数知识。然而，对于涉及的代数几何和伽罗瓦理论等前沿概念，本书会进行详尽的解释和铺垫，力求让不同背景的读者都能有所收获。 核心章节概览： 1. 多项式方程与基本几何图形： 线性方程 $ax+by+c=0$ 及其对应的直线。 二次方程 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 及其对应的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）。 复数根与几何图形的关系，如实轴的交点、共轭复根的对称性。 2. 高次多项式的几何表现： 三次及更高次多项式方程所描绘的曲线，例如三次曲线的节点、孤立点等奇点问题。 参数方程与隐函数方程在描述几何图形中的作用，以及它们与多项式的关系。 多项式函数的零点、极值与其图像的几何关联。 3. 代数簇的初步认识： 代数簇的定义：由多项式方程组定义的点集。 从单变量多项式到多变量多项式方程组。 代数簇的维度、光滑点与奇点。 例子：球面、椭圆曲线等经典代数簇。 4. 根的分布与几何推论： 实根定理及其几何解释。 复根与对称性。 度量代数中的多项式，例如范数方程的几何意义。 5. 多项式与几何变换： 线性变换在齐次多项式中的表现。 仿射变换与射影变换如何改变多项式方程。 对称性分析：多项式方程的对称性如何反映几何图形的对称性。 6. 经典几何问题的代数解析： 尺规作图问题的代数基础：为什么有些图形无法用尺规作图。 多项式可解性的几何判别。 7. 多项式环的几何解读： 多项式环的理想与代数簇之间的对应关系（希尔伯特零点定理的初步探讨）。 函数域与代数簇的联系。 本书特色： 直观与抽象的结合： 本书力求将抽象的代数概念转化为直观的几何图像，使读者能够“看见”多项式的几何本质。 数学交叉领域的探索： 读者将有机会深入了解代数几何、伽罗瓦理论等数学分支与多项式几何的深刻联系。 丰富的例证与图示： 大量精心设计的图示和具体的计算例子，帮助读者理解抽象的理论。 循序渐进的学习路径： 从基础概念到前沿理论，本书为读者提供了一个清晰的学习框架。 《多项式之几何》不仅仅是一本关于多项式的书，它更是关于数学之美的一部探索。通过理解多项式背后的几何语言，读者将能更深刻地领略数学的严谨性、创造性以及其统一性。无论您是数学专业的学生，还是对数学充满好奇的爱好者，本书都将为您打开一扇全新的视角，让您重新审视我们熟悉的数字和方程，发现它们在几何空间中闪耀的迷人光芒。

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