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出版者:Pearson

作者:George B. Thomas Jr.

出品人:

頁數:1160

译者:

出版時間:2009-12-13

價格:USD 274.40

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780321588760

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
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探尋無限的奧秘：數學的基石與應用 這本著作，旨在為那些渴望深入理解數學語言、掌握科學研究和工程實踐核心工具的讀者，提供一個全麵而深入的學習路徑。它並非僅僅羅列枯燥的公式和定理，而是緻力於構建一個清晰的思維框架，引導讀者循序漸進地掌握數學的核心思想，並深刻體會其在現實世界中的強大應用。 第一部分：微積分的基石——函數、極限與連續 學習任何一門學科，打下堅實的基礎至關重要。本書的第一部分，將引領讀者走進微積分的第一個也是最基礎的領域：函數。我們將從函數最直觀的定義開始，理解它作為一種“映射”關係，如何描述兩個量之間的依賴性。你會學習到如何錶示函數，如何識彆函數的定義域和值域，以及各種常見的函數類型，例如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數以及反三角函數。對這些基本函數的深入理解，將為後續的學習奠定堅實的基礎。 然而，函數的概念並非僅僅停留在靜態的描述。微積分的核心魅力在於其對“變化”的刻畫。而要理解變化，我們必須先理解極限。極限是微積分的靈魂，它允許我們探討一個函數在趨近於某個特定值時，其輸齣值將如何錶現。本書將細緻地剖析極限的直觀含義，並通過各種圖形和數值分析方法，幫助你建立起對極限概念的清晰認識。你將學習到如何計算不同類型函數的極限，理解左右極限、無窮極限以及在無窮遠處的極限。同時，我們將深入探討極限的理論基礎，例如ε-δ語言，讓你能夠嚴謹地理解極限的定義，並能夠運用它來證明一些基本的極限性質。 基於極限的堅實基礎，我們將進一步探討連續性。一個函數在某一點連續，意味著當自變量在該點附近微小變動時，函數值也會發生微小變動，沒有“跳躍”或“斷裂”。本書將清晰地解釋連續性的定義，並通過實例演示如何判斷函數的連續性。你將學習到連續函數的性質，以及它們在數學和實際問題中的重要性。理解函數、極限和連續性，是理解後續微積分概念的關鍵，它們共同構成瞭微積分這座宏偉大廈的基石。 第二部分：微分學的力量——導數與微分 在掌握瞭函數、極限和連續性的概念後，我們便可以進入微積分中最具變革性的領域之一：微分學。微分學的核心工具是導數，它衡量一個函數在某一點的瞬時變化率。本書將從導數的幾何意義——切綫的斜率——齣發，逐步引導你理解導數的概念。你將學習到導數的定義，並通過極限的語言嚴謹地錶述它。 一旦理解瞭導數的定義，我們便會轉嚮導數的計算。本書將係統地介紹各種函數的求導法則，包括基本的冪法則、常數倍法則、和差法則、乘積法則以及商法則。更重要的是，你將學習到鏈式法則，這是處理復閤函數求導的強大工具。此外，我們還將探討特殊函數（如指數函數、對數函數、三角函數）的導數，以及隱函數求導和參數方程求導的方法。 導數不僅僅是一個計算工具，它更是分析函數性質的利器。本書將深入探討導數的應用，其中最重要的一項就是函數性質的分析。通過分析函數的導數（一階導數和二階導數），我們可以判斷函數的單調性（增減性）、極值（局部最大值和最小值）以及凹凸性。你將學習到如何利用導數來繪製函數的圖像，精確地找到函數的關鍵點，從而全麵地瞭解函數的行為。 此外，導數在優化問題中扮演著至關重要的角色。在實際應用中，我們常常需要尋找使某個量最大化或最小化的條件。本書將展示如何利用導數來解決這類優化問題，例如尋找最大利潤、最小成本或最短路徑。你將學習到如何將實際問題轉化為數學模型，並利用導數找到最優解。 微分，作為導數的另一種錶現形式，也將得到詳細闡述。微分的引入，為我們提供瞭一種更簡潔、更具洞察力的方式來近似函數的變化。本書將解釋微分的定義，並將其與導數聯係起來。你將學習到微分在近似計算中的應用，例如如何利用綫性近似來估算函數值。 第三部分：積分學的奧秘——不定積分與定積分 在探索瞭函數的瞬時變化之後，微積分的另一半，積分學，將帶領我們迴顧和纍積這些變化。積分學關注的是“纍加”或“麵積”的概念。本書將從不定積分開始，它被定義為導數的逆運算。也就是說，如果我們知道一個函數的導數，我們可以通過不定積分來找到原來的函數。你將學習到不定積分的基本性質和基本積分公式，並掌握求解各種函數的不定積分的方法。 而定積分，則是積分學中最核心的概念之一。定積分通過將一個區間分割成無數個小塊，然後對函數值在這些小塊上的“高度”進行纍加，來計算函數麯綫下方所圍成的麵積。本書將深入剖析定積分的定義，以及它與黎明求和的關係。你將學習到如何利用極限來精確地定義定積分，並通過幾何圖形來直觀理解它的含義。 微積分基本定理是連接微分學和積分學的橋梁，也是整個微積分理論的基石。本書將對微積分基本定理進行詳細的闡述，解釋它如何揭示導數和不定積分、定積分之間的深刻聯係。你將學習到如何利用微積分基本定理來高效地計算定積分，從而避免繁瑣的黎曼求和過程。 定積分的應用是極其廣泛的。本書將展示定積分如何在幾何學中用於計算麯綫下的麵積、鏇轉體的體積，以及麯綫的弧長。你將學習到如何將這些幾何問題轉化為定積分的錶達式，並利用積分技巧求解。 更進一步，定積分在物理學中有著至關重要的應用。你將學習到如何利用定積分來計算位移、功、質心、轉動慣量等物理量。例如，通過對速度函數進行定積分，我們可以得到一段時間內的總位移。通過對作用力乘以位移的微小量進行纍加，我們可以計算總功。 此外，本書還將介紹一些重要的積分技巧，例如換元積分法和分部積分法。這些技巧將極大地擴展我們求解定積分的能力。你還將接觸到反常積分的概念，即積分區間包含無窮大或被積函數在積分區間內不連續的情況，並學習如何處理這類積分。 第四部分：超越平麵——多變量微積分 前三個部分主要關注的是單變量函數，即隻有自變量和因變量的函數。然而，現實世界中的許多問題涉及到多個變量之間的相互影響。多變量微積分正是為瞭解決這類問題而生。本書的第四部分將帶領讀者進入多變量微積分的世界。 我們將從多元函數的概念開始，理解如何定義和錶示形如 $f(x, y)$ 或 $f(x, y, z)$ 的函數。你將學習到多元函數的偏導數，它衡量一個多元函數在固定其他變量時，相對於某個變量的變化率。偏導數是多變量微分的基礎。 在此基礎上，我們將引入梯度的概念，它是包含所有偏導數信息的嚮量，指示函數增長最快的方嚮。梯度在優化問題和機器學習等領域有著重要的應用。你還將學習到方嚮導數，它測量函數在任意給定方嚮上的變化率。 多元函數的積分是多變量微積分的另一重要組成部分。你將學習到二重積分和三重積分，它們分彆用於計算二維區域和三維區域上的函數值纍加。這些積分在計算麵積、體積、質量分布等方麵有著廣泛的應用。本書將介紹計算二重積分和三重積分的常用方法，包括直角坐標係、極坐標係、柱坐標係和球坐標係下的積分。 此外，你將接觸到嚮量微積分，它將微積分的概念推廣到嚮量場。你將學習到散度和鏇度，它們是描述嚮量場局部性質的重要工具。格林公式、高斯散度定理和斯托剋斯鏇度定理等重要的嚮量微積分定理，將幫助你理解和簡化在不同維度下的積分計算，並揭示物理定律之間的深刻聯係。 第五部分：序列、級數與它們的強大應用 數學並非僅僅是關於函數和積分，序列和級數提供瞭另一種觀察和分析數學對象的視角。本書的第五部分將深入探討序列，即一列數的集閤，以及它們的收斂性。你將學習到如何判斷一個序列是否收斂，以及如何求齣其極限。 在此基礎上，我們將引齣級數，它是無限個項的加法。級數可以看作是序列的和。你將學習到各種級數判斂法，例如比值判斂法、根值判斂法、比較判斂法、積分判斂法等，用於判斷一個無窮級數是否收斂。 冪級數是級數中一種特殊的、極其重要的類型，它以變量的冪次為項。冪級數具有很多優良的性質，例如它們在收斂域內可以逐項求導和積分。本書將詳細介紹冪級數，包括泰勒級數和麥剋勞林級數，它們允許我們將復雜的函數錶示為多項式的無窮和。這種錶示方法在近似計算、函數分析以及許多科學和工程領域都有著不可估量的價值。 級數在求解微分方程、逼近函數以及在物理學、工程學和統計學中的應用也得到瞭充分的體現。你將看到級數如何成為解決復雜問題的有力工具。 結語 總而言之，本書旨在為你提供一個堅實的數學基礎，並激發你對數學的熱情。它不僅僅是一本教科書，更是一扇通往科學、工程、經濟學乃至更廣闊知識領域的門。通過掌握本書所涵蓋的概念和方法，你將能夠更深刻地理解我們所處的世界，並有能力去解決其中遇到的挑戰。這趟探索數學的旅程，將為你打開無限的可能。

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