Integrability Theorems for Trigonometric Transforms (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiet pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:Ralph P.Jr. Boas

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1967-01-01

價格:USD 39.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540037804

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 積分變換
• 三角函數
• 調和分析
• 傅裏葉分析
• 實分析
• 函數空間
• 可積性
• 數學物理
• Ergebnisse der Mathematik

理解可積性：三角變換的理論基石 數學的宏偉殿堂中，分析學占據著舉足輕重的地位。而在分析學的廣闊領域內，變換理論如同一座橋梁，連接著不同數學對象的本質，揭示它們之間深邃的聯係。三角變換，作為一類重要的變換，更是以其簡潔優美的形式和強大的解析能力，在信號處理、量子力學、偏微分方程等眾多學科中扮演著核心角色。然而，理解和應用這些變換的威力，離不開對其“可積性”的深入洞察。 《可積性定理：三角變換的理論基石》一書，正是一部緻力於係統性梳理和闡釋三角變換可積性理論的力作。本書並非僅僅羅列公式和定理，而是深入剖析瞭可積性在三角變換框架下的各種錶現形式、判定方法及其內在聯係，為讀者構建起一個全麵而深入的理論體係。 核心概念的精細梳理 本書開篇即為讀者奠定堅實的理論基礎。它首先對“可積性”這一核心概念進行瞭詳盡的定義和區分。在數學分析中，可積性的概念並非單一，根據函數的性質和積分的定義，存在著黎曼可積、勒貝格可積等多種形式。本書清晰地闡述瞭不同可積性概念的內涵與外延，並著重強調瞭它們在三角變換背景下的具體意義。例如，一個三角變換的傅裏葉係數是否收斂，一個函數的傅裏葉級數是否逐點收斂或一緻收斂，這些都與函數的各種可積性密切相關。 隨後，本書將目光聚焦於三角變換本身。它係統地迴顧瞭傅裏葉級數、傅裏葉積分、三角多項式等基本概念，並從構造、性質、收斂性等多個角度進行瞭深入的講解。書中強調，理解這些基本變換的結構，是理解其可積性問題的齣發點。例如，傅裏葉級數是將一個周期函數分解為一係列三角函數的疊加，而其收斂性則取決於原函數的平滑程度和周期性。 可積性的多維度探討 本書的可積性探討並非局限於單一的函數空間或積分類型。它從多個維度對三角變換的可積性進行瞭深入的考察，展現瞭理論的豐富性和普適性。 點態收斂性： 這是可積性討論中最直接也是最基本的一層。本書詳細探討瞭在何種條件下，三角變換（如傅裏葉級數）能夠逐點收斂到原函數。狄利剋雷條件、迪尼條件等經典判據在書中得到瞭嚴謹的推導和生動的闡釋。作者通過引入局部一緻性、變差界等概念，揭示瞭函數在某一點的振蕩行為如何影響三角級數的收斂性。 一緻收斂性： 相比於點態收斂，一緻收斂要求更為嚴格，它保證瞭在整個定義域上，三角變換的近似程度是均勻的。本書探討瞭當函數滿足更強的光滑性條件（如連續性、可微性、高階可微性）時，其對應的三角變換具有一緻收斂性。對於那些不滿足一緻收斂但仍然具有良好應用價值的函數，本書也提供瞭相應的分析工具，例如通過研究函數的邊界行為和奇異性來理解其一緻收斂的限製。 Lp可積性： 在更廣泛的函數空間中，Lp可積性是衡量函數“大小”或“能量”的重要指標。本書深入探討瞭三角變換在Lp空間中的性質，特彆是Lp收斂性。傅裏葉變換在L1和L2空間中的重要性，以及與之相關的Plancherel定理、Parseval定理等，在書中得到瞭詳細的介紹和證明。這些定理不僅揭示瞭變換前後能量守恒的深刻內涵，也為理解函數的積分性質提供瞭強大的工具。 復值函數的處理： 本書不僅關注實值函數，也對復值函數的三角變換及其可積性進行瞭深入探討。這在信號處理和物理學中尤為重要，因為許多物理量本質上是復數。書中講解瞭復指數函數的性質，以及復係數傅裏葉級數和傅裏葉變換的構建，並分析瞭它們在復平麵上的收斂性和可積性。 重要定理的深度解析 《可積性定理：三角變換的理論基石》一書中，眾多經典且重要的可積性定理得到瞭精闢的闡述和嚴謹的證明。 狄利剋雷定理 (Dirichlet's Theorem)： 作為傅裏葉級數收斂性的基石，狄利剋雷定理的提齣和證明是理解三角變換可積性的關鍵。本書詳細介紹瞭狄利剋雷定理的各個版本，包括其對函數的周期性、有界變差性以及跳躍不連續性的要求。作者通過對狄利剋雷核的積分錶示和分析，清晰地展示瞭該定理的推導過程，並提供瞭直觀的幾何解釋。 迪尼定理 (Dini's Theorem)： 當函數的平滑性條件稍弱時，迪尼定理提供瞭一種更廣泛的收斂判據。本書解釋瞭迪尼定理的內涵，即函數在某一點的“迪尼連續性”條件，並分析瞭其與函數局部振蕩的關係。 收斂性判據的比較與推廣： 本書並非孤立地介紹各個定理，而是通過比較不同收斂性判據的適用範圍和強度，揭示瞭它們之間的內在聯係。作者還進一步探討瞭這些定理的推廣形式，例如在加權Lp空間或更一般的拓撲空間上的可積性問題。 Parseval定理與Plancherel定理： 這兩個定理是傅裏葉分析中關於能量守恒的深刻體現，它們揭示瞭函數在其時域（或空域）積分的平方與在其頻域積分的平方之間的等價關係。本書詳細闡述瞭這兩個定理的意義，並提供瞭它們在不同函數空間（如L2空間）下的嚴格證明。 應用導嚮與理論的深度結閤 《可積性定理：三角變換的理論基石》一書的價值，不僅在於其理論的深度和廣度，還在於它將抽象的數學理論與實際應用緊密結閤。 信號處理中的應用： 在信號處理領域，我們經常需要分析和處理各種信號。信號的傅裏葉變換揭示瞭其頻率成分，而信號的可積性直接決定瞭其傅裏葉變換的有效性。例如，一個有限能量的信號（L2可積）可以被其傅裏葉變換精確地錶示。本書通過分析不同類型的信號，例如方波、三角波以及包含噪聲的信號，來展示可積性在信號分析中的具體應用。 偏微分方程的求解： 許多偏微分方程的求解過程都依賴於傅裏葉變換或傅裏葉級數。例如，熱傳導方程、波動方程等。這些方程的解的存在性、唯一性以及穩定性，往往與解的函數空間的性質（即可積性）密切相關。本書通過一些典型的偏微分方程問題，展示瞭可積性理論如何指導和保證求解方法的有效性。 量子力學中的應用： 在量子力學中，波函數代錶瞭粒子的狀態，而波函數的傅裏葉變換則描述瞭粒子的動量譜。波函數必須是L2可積的，這意味著其能量是有限的。本書解釋瞭這種物理限製如何轉化為數學上的可積性要求，以及這對於理解量子現象的重要性。 對數學研究的啓示 《可積性定理：三角變換的理論基石》一書的撰寫，不僅梳理瞭前人的研究成果，也為未來的數學研究指明瞭方嚮。 新興的函數空間： 隨著數學的發展，新的函數空間不斷被提齣，例如Besov空間、Lizorkin空間等。這些空間在處理更復雜的函數性質方麵具有優勢，並對三角變換的可積性提齣瞭新的挑戰和機遇。本書為讀者提供瞭理解這些新興空間並探索其與三角變換之間聯係的理論基礎。 數值方法的理論支撐： 在實際應用中，我們常常需要利用數值方法來近似計算三角變換。可積性理論為這些數值方法的精度和收斂性提供瞭嚴格的理論支撐。本書對收斂性判據的深入分析，有助於設計更優化的數值算法。 非綫性分析與可積性： 本書主要聚焦於綫性三角變換，但可積性在非綫性分析領域也扮演著重要角色。如何將本書中的可積性理論拓展到非綫性變換，是未來研究的一個重要方嚮。 結語 《可積性定理：三角變換的理論基石》是一部具有裏程碑意義的學術專著。它以嚴謹的數學語言、清晰的邏輯結構和豐富的例證，係統地闡釋瞭三角變換可積性理論的核心內容。本書不僅是數學專業學生和研究人員的寶貴參考資料，也為工程師、物理學傢等需要深入理解變換理論的專業人士提供瞭堅實的理論基石。通過對可積性的深入理解，讀者將能夠更深刻地把握三角變換的本質，更有效地解決實際問題，並為數學理論的發展貢獻新的力量。本書的齣版，無疑將極大地促進相關領域的研究與發展。

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