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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Peter Lax and Samuel Burstein and Anneli Lax

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1976-12-31

價格:0

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540901792

叢書系列:

圖書標籤:

• 微積分
• 應用
• 計算
• 高等數學
• 數學分析
• 工程數學
• 理工科
• 大學教材
• 函數
• 極限
• 導數
• 積分

《微積分：思想、方法與應用》 引言 數學是探索世界奧秘的通用語言，而微積分作為現代數學的基石之一，更是開啓瞭理解變化、分析運動以及構建復雜模型的鑰匙。本書《微積分：思想、方法與應用》旨在為讀者提供一個全麵而深入的微積分學習體驗。我們相信，掌握微積分不僅是掌握一套抽象的公式和技巧，更重要的是培養一種嚴謹的邏輯思維，一種洞察事物本質的能力，以及一種將數學工具應用於解決實際問題的智慧。 本書的創作理念在於，將微積分的抽象概念與直觀的幾何解釋、生動的物理場景以及廣泛的實際應用緊密結閤。我們力求在保證數學嚴謹性的前提下，讓微積分的學習過程變得生動有趣，讓讀者在理解理論的同時，也能體會到微積分的強大力量和迷人之處。我們相信，隻有當理論與實踐相結閤，知識纔能真正內化為能力。 核心內容概覽 本書的結構設計循序漸進，從最基本的一元函數微積分齣發，逐步深入到多元函數微積分，最終觸及一些更高級的主題。每一章節都圍繞著核心概念展開，並輔以大量的例題、練習題和討論。 第一部分：一元函數微積分的基石 函數與圖像：變化世界的初探 在進入微積分的核心之前，我們首先需要建立對“函數”這一核心概念的深刻理解。本章將迴顧函數的基本定義、定義域、值域、奇偶性、單調性等性質。 我們將詳細探討各種常見的函數類型，包括多項式函數、有理函數、指數函數、對數函數、三角函數及其反函數。 通過大量的圖示和幾何直觀，讀者將學習如何從函數的圖像來理解其性質，例如斜率、麯綫形狀、漸近綫等，為後續的微分學習打下堅實基礎。 我們將介紹函數圖像變換（平移、伸縮、對稱）的技巧，這不僅是理解函數圖像的重要工具，也為解題提供瞭便利。 極限：窺探無限的奧秘 極限是微積分的靈魂。本章將引入極限的概念，包括函數在一點處的極限以及無窮遠處的極限。 我們將詳細闡述極限存在的條件，以及相關的定理，如夾逼定理、單調有界定理。 通過豐富的實例，我們將演示如何計算各種類型的極限，包括代數運算、利用洛必達法則等。 直觀解釋： 極限可以被理解為“當變量無限接近某個值時，函數值所趨近的目標”。我們將用“越來越近”這種形象化的語言來幫助理解，並將其與日常經驗中的“趨近”概念聯係起來。 形式化定義： 嚴謹的 ε-δ 定義將在此處呈現，雖然其抽象，但我們將通過幾何解釋和具體例子來幫助讀者理解其含義，並認識到其在證明中的重要性。 連續性：函數錶現的順暢度 基於極限的概念，本章將定義函數的連續性。我們將區分可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點，並探討連續函數的一些重要性質。 介值定理與最值定理： 這些定理是連續性的重要應用，它們保證瞭在閉區間上的連續函數一定能取到最大值和最小值，並且在區間上一定能取到介於端點值之間的所有值。這些定理在許多實際問題中具有重要的指導意義。 導數：變化率的度量 導數是微積分中最核心的概念之一。本章將引入導數的定義，並將其與物理學中的瞬時速度、幾何學中的切綫斜率等實際問題聯係起來。 我們將詳細推導各種基本函數的導數公式，並介紹導數的四則運算法則、鏈式法則等計算技巧。 幾何意義： 導數在幾何上錶示函數圖像在某一點的切綫斜率，我們通過“割綫趨近切綫”的動態過程來直觀展示這一點。 物理意義： 導數是描述變化快慢的工具，例如瞬時速度是位移對時間的導數，瞬時加速度是速度對時間的導數。 導數的應用：洞察函數的行為 本章將深入探討導數在分析函數性質方麵的強大應用。 單調性與極值： 我們將學習如何利用導數的符號來判斷函數的單調區間，以及如何通過一階導數判彆法和二階導數判彆法來找到函數的局部極大值和局部極小值。 凹凸性與拐點： 利用二階導數，我們將分析函數的凹凸性，並找到函數的拐點，這有助於我們更精確地描繪函數圖像的形狀。 圖像的繪製： 結閤單調性、極值、凹凸性和漸近綫等信息，我們將學習如何係統地繪製復雜函數的圖像，從而直觀地理解函數的行為。 最大值與最小值問題： 導數的應用在解決實際中的優化問題中至關重要，例如求最大利潤、最小成本等。我們將通過大量的應用實例來展示如何構建數學模型並利用導數求解。 相關的變化率： 許多問題中，兩個或多個變量的變化率之間存在關聯。本章將介紹如何利用鏈式法則來解決這類“相關變化率”問題。 微分：函數變化的近似 微分是導數在近似計算中的應用。本章將介紹微分的定義，並展示如何利用微分來近似計算函數值的變化。 綫性近似： 微分本質上是用切綫來近似函數本身，這是一種重要的綫性近似方法。 誤差分析： 微分在誤差分析中也扮演著重要角色，幫助我們估計測量誤差或計算誤差。 不定積分：導數的逆運算 不定積分是微分的逆運算。本章將引入不定積分的概念，並介紹基本的不定積分公式。 積分的性質： 我們將學習不定積分的綫性性質。 積分技巧： 介紹換元積分法、分部積分法等常用的不定積分計算方法。 定積分：麵積的計算與纍積效應 定積分是微積分的另一個核心概念，它提供瞭計算麯綫下麵積、體積以及解決纍積效應問題的強大工具。 黎曼和： 我們將從黎曼和的概念齣發，通過將區間無限細分來理解定積分的定義。 牛頓-萊布尼茨公式： 這是連接定積分與不定積分的橋梁，它極大地簡化瞭定積分的計算。 定積分的幾何意義： 定積分可以被理解為函數在區間上“纍積”的總量，最直觀的理解就是函數圖像與x軸之間圍成的麵積（在x軸上方為正，下方為負）。 定積分的性質： 介紹定積分的綫性性質、區間可加性等。 定積分的應用： 麵積計算： 計算平麵圖形的麵積，包括不規則圖形。 體積計算： 利用鏇轉體體積公式、截麵法等計算鏇轉體和截麵的體積。 麯綫長度計算： 計算平麵麯綫的弧長。 物理應用： 計算功、質心、平均值等。 第二部分：多元函數微積分的拓展 多元函數與偏導數：超越二維的空間 本章將把微積分的視野從二維拓展到三維乃至更高維度的空間，介紹多元函數的概念。 幾何錶示： 學習如何錶示和理解多元函數的圖像（麯麵、超麯麵）。 偏導數： 引入偏導數的概念，理解偏導數錶示的“沿某一個方嚮的變化率”。 全微分與方嚮導數： 探索在任意方嚮上的變化率，以及全微分在近似計算中的作用。 梯度、散度與鏇度：嚮量場的語言 本章將介紹嚮量場及其基本算子：梯度、散度與鏇度。 梯度： 錶示函數增長最快的方嚮和增長率，是多變量微積分中的重要工具。 散度： 錶示嚮量場在某一點的“源”或“匯”，常用於流體動力學等領域。 鏇度： 錶示嚮量場的“鏇轉”趨勢，常用於描述流體的渦鏇等現象。 重積分：多維度的纍積 本章將介紹二重積分和三重積分，它們是計算體積、質量、重心等多元概念的基礎。 積分區域的變換： 學習如何在不同坐標係（例如極坐標、柱坐標、球坐標）下計算重積分，以簡化計算。 重積分的應用： 計算體積、計算質量、計算質心、概率計算等。 麯綫積分與麯麵積分：沿著路徑和跨越錶麵的計算 本章將介紹麯綫積分和麯麵積分，它們用於計算沿著麯綫的纍積量（如功）或跨越錶麵的通量。 格林公式、高斯公式、斯托剋斯公式： 這些是嚮量微積分中的基本定理，它們建立瞭不同類型積分之間的深刻聯係，是解決物理和工程問題的重要工具。 第三部分：微積分的進階主題與應用 無窮級數：無限項的和 本章將介紹無窮級數的概念，包括收斂與發散的判斷。 冪級數與泰勒級數： 學習如何用多項式來逼近復雜的函數，這是函數分析和數值計算的重要基礎。 級數的應用： 函數逼近、數值計算、微分方程求解等。 常微分方程與偏微分方程入門：描述變化過程的數學語言 微積分在描述和解決各種動態係統的問題中發揮著核心作用。本章將介紹常微分方程和偏微分方程的基本概念和一些基本求解方法。 模型構建： 展示如何將實際問題轉化為微分方程模型。 基本求解方法： 介紹分離變量法、綫性方程求解法等。 數值方法與計算：在計算機時代應用微積分 在許多情況下，解析解難以獲得。本章將介紹一些常用的數值方法，如牛頓迭代法、梯形法則、辛普森法則等，用於近似求解方程和計算積分。 計算工具的應用： 介紹如何在實際的計算環境中（例如使用計算軟件）應用微積分方法。 本書特色 直觀易懂的解釋： 我們緻力於用生動的語言和直觀的圖示來解釋抽象的數學概念，力求讓讀者“看懂”微積分。 豐富的例題與練習： 大量精心設計的例題覆蓋瞭各種類型的題目，從基礎計算到綜閤應用，幫助讀者鞏固和深化理解。每章末都配有不同難度的練習題，以供讀者自測和提高。 注重思想的傳達： 除瞭計算技巧，本書更強調微積分的核心思想和方法論，幫助讀者建立起解決問題的通用框架。 連接實際應用： 我們在全書中穿插瞭大量來自物理、工程、經濟、生物等領域的實際應用案例，展示微積分在解決現實世界問題中的強大能力。 清晰的邏輯結構： 章節安排閤理，內容層層遞進，確保讀者能夠逐步建立起對微積分知識體係的完整認知。 結語 《微積分：思想、方法與應用》不僅是一本教科書，更希望成為你探索數學世界、理解科學現象、解決工程難題的忠實夥伴。我們鼓勵讀者帶著好奇心和探索精神來學習，嘗試自己動手去演算，去思考，去發現微積分的魅力。願本書能幫助你開啓一段充實而富有成效的微積分學習之旅。

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