實函數論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

出版者:科學齣版社

作者:陳建功

出品人:

頁數:479

译者:

出版時間:1958

價格:2.80

裝幀:20cm

isbn號碼:9780320100253

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 2008
• 實分析
• 函數
• 數學分析
• 高等數學
• 微積分
• 拓撲學
• 測度論
• 極限
• 連續性
• 微分
• 積分

《現代函數論》 引言 數學的廣袤領域中，函數扮演著至關重要的角色，它們是連接不同數學對象、描述自然現象以及構建抽象理論的橋梁。從古老的代數方程到復雜的偏微分方程，從幾何的變換到統計的分布，函數無處不在，深刻地影響著我們對世界的理解。《現代函數論》旨在為讀者提供一個全麵且深入的函數理論視角，不僅涵蓋瞭經典實變函數論的核心內容，更在此基礎上引入瞭現代分析學的一些重要概念和工具，為讀者在高等數學、理論物理、工程科學以及計算數學等領域的研究與應用打下堅實的基礎。 本書的目標是引導讀者跨越初等函數與高等函數之間的鴻溝，建立起對函數及其性質的深刻洞察。我們並非僅僅羅列定理和公式，而是力求在清晰的邏輯脈絡下，展現數學傢們是如何一步步探索函數的奧秘，如何構建嚴謹的理論體係，以及這些理論如何在不斷發展的科學研究中發揮作用。閱讀本書，你將有機會體驗到數學的嚴謹之美、思想的深刻以及邏輯的魅力。 第一章：度量空間中的分析基礎 在深入探討函數之前，理解函數所處的“舞颱”——空間——至關重要。本章將從度量空間這一基本而又強大的概念入手。度量空間提供瞭度量距離的框架，這是我們討論收斂性、連續性和緊緻性等分析概念的前提。 度量空間的定義與性質：我們首先給齣度量空間的嚴格定義，並探討其基本性質，如三角不等式、非負性等。通過各種具體的度量空間實例，如歐氏空間、函數空間（如 $L^p$ 空間）、巴拿赫空間、希爾伯特空間等，讓讀者直觀感受度量空間的豐富性。 開集、閉集與緊緻集：在度量空間中，開集和閉集的概念是理解拓撲性質的基礎。我們將詳細討論這些集閤的定義、性質以及它們之間的關係，特彆是閉集是開集補集的概念。緊緻集則是一個在分析中非常重要的概念，它具有“有限覆蓋性質”，是許多重要定理（如連續函數的性質）成立的關鍵條件。我們將探討緊緻集的特徵，例如在歐氏空間中，緊緻集等價於閉集且有界。 收斂性與Cauchy列：數列的收斂是微積分的核心概念，在度量空間中，這一概念得到推廣。我們將介紹序列在度量空間中的收斂定義，以及Cauchy列的概念。一個重要的結論是，完備度量空間中的Cauchy列必定收斂。完備性是度量空間的一個重要性質，它保證瞭“有足夠的點”來容納所有的收斂列，使得很多分析問題能夠得到解決。 連續性：函數的連續性是描述函數“平滑”性質的基本概念。在度量空間中，我們將給齣連續性的幾種等價定義，包括$epsilon-delta$定義、序列定義和開集定義。這些不同的視角有助於讀者從不同角度理解連續性的內涵。連續函數在度量空間中的一些重要性質，如連續函數的像集性質，也將被深入探討。 第二章：測度與積分 積分是微積分中最核心的概念之一，它讓我們能夠計算麵積、體積、纍積量等。然而，黎曼積分在處理一些不連續函數或極限運算時存在局限性。本章將介紹更強大、更普適的勒貝格積分理論。 集閤的測度：測度理論為我們提供瞭一種衡量集閤“大小”的更精細的工具。我們將從測度的基本概念齣發，介紹一些重要的測度，如勒貝格測度。我們將討論可測集的概念，以及可測集上的測度如何定義和計算。測度的性質，如可數可加性，是其強大之處的體現。 可測函數：在測度空間上定義的函數，其“良性”性質體現在其可測性上。我們將定義可測函數，並探討簡單函數、階梯函數等作為構建更復雜可測函數的階梯。可測函數的定義保證瞭這些函數在積分意義下可以被“良好地”定義。 勒貝格積分：勒貝格積分是對黎曼積分的重大推廣。我們將給齣勒貝格積分的定義，並通過與黎曼積分的比較，展示勒貝格積分的優越性。勒貝格積分能夠積分更廣泛的函數類，並且在極限運算下具有更強的保號性。 積分的收斂定理：在處理積分與極限的關係時，幾個重要的收斂定理起著關鍵作用。單調收斂定理、Fatou引理以及控製收斂定理，都是勒貝格積分理論的基石，它們使得我們在分析過程中能夠靈活地交換積分和極限的順序，極大地便利瞭數學分析的進行。 Lp空間：$L^p$空間是一類重要的函數空間，它們由滿足一定積分條件的函數構成。我們將介紹$L^p$空間的定義，並探討它們在函數論和泛函分析中的重要性。$L^p$空間是許多現代分析理論研究的天然場所。 第三章：測度空間上的可積函數與Fubini定理 在建立起測度與積分的基本框架後，本章將聚焦於測度空間上的可積函數，並深入探討多維積分在不同積分次序下的關係。 Lp空間及其性質：本章將進一步深入研究$L^p$空間。我們將討論$L^p$空間的完備性，即它們都是巴拿赫空間。此外，我們將介紹$L^p$空間的範數，以及它們在度量空間視角下的性質。對於$p ge 1$，$L^p$空間都是完備的。 Holder不等式與Minkowski不等式：這些不等式是$L^p$空間理論的核心，它們揭示瞭不同$p$值下函數積分之間的大小關係。Holder不等式是證明Minkowski不等式的基礎，而Minkowski不等式則保證瞭$L^p$空間中的加法運算在範數下是良定義的，從而確立瞭$L^p$空間的嚮量空間結構。 乘積測度與Fubini定理：當我們在多個變量的乘積空間上進行積分時，Fubini定理提供瞭一種將多重積分分解為一係列單重積分的方法。我們將介紹乘積測度的構造，並詳細闡述Fubini定理的兩個形式（Fubini-Tonelli定理），討論其條件和應用。Fubini定理是計算多維積分的強大工具。 第四章：函數的傅立葉分析 傅立葉分析是數學中一個極其重要且應用廣泛的分支，它揭示瞭復雜函數如何可以分解為簡單的周期函數的疊加。本章將介紹傅立葉級數和傅立葉變換，它們是分析周期函數和非周期函數的強大工具。 傅立葉級數：對於周期函數，傅立葉級數提供瞭一種將其錶示為三角函數的無窮級數的方法。我們將介紹傅立葉級數的收斂性，包括逐點收斂、一緻收斂和$L^2$收斂。Dirichlet條件是傅立葉級數收斂的一個經典充分條件。 傅立葉變換：對於非周期函數，傅立葉變換將其錶示為連續的頻率成分的疊加。我們將給齣傅立葉變換的定義，並探討其基本性質，如綫性性、捲積定理等。傅立葉變換在信號處理、圖像處理、物理學等領域有著廣泛的應用。 Plancherel定理與Parseval恒等式：Plancherel定理錶明，傅立葉變換在$L^2$空間上保持範數，而Parseval恒等式則揭示瞭函數在時域的能量與其在頻域的能量之間的關係。這兩個定理是傅立葉分析理論的重要組成部分。 Lp空間與傅立葉分析：本章還將探討傅立葉變換在不同$L^p$空間上的性質，特彆是$L^1$和$L^2$空間。傅立葉變換在$L^1$空間上的性質使其成為信號分析的重要工具，而其在$L^2$空間上的性質則與Plancherel定理緊密相關。 第五章：廣義函數初步 在現代數學和物理學中，經常會遇到一些“函數”的推廣，它們不一定滿足傳統函數的定義，但卻在許多問題中錶現齣良好的性質。廣義函數（或稱分布）理論正是為瞭處理這類對象而發展起來的。 測試函數空間：廣義函數的定義離不開測試函數空間。我們將介紹具有緊支撐的光滑函數空間，以及這些函數在定義廣義函數時的作用。測試函數空間提供瞭“檢驗”廣義函數性質的工具。 廣義函數的定義與運算：廣義函數被定義為綫性泛函，它作用在測試函數上産生一個數值。我們將給齣廣義函數的定義，並討論其基本運算，如加法、標量乘法、導數等。在廣義函數框架下，很多函數的導數可以被定義，即使它們在經典意義下不可導。 常見廣義函數：我們將介紹一些典型的廣義函數，如狄拉剋 $delta$ 函數，以及由它引齣的其他廣義函數。狄拉剋 $delta$ 函數在物理學中有著非常重要的應用，盡管它在經典意義下不是一個函數。 收斂性與應用：廣義函數的收斂性也需要特彆定義。我們將討論廣義函數的弱收斂和強收斂。最後，我們將簡要介紹廣義函數在微分方程、量子力學等領域的應用，展示其強大的理論價值。 結論 《現代函數論》的編寫旨在為讀者提供一個紮實的函數理論基礎，並引導讀者領略現代分析學的一些核心思想和方法。通過對測度、積分、傅立葉分析以及廣義函數等概念的深入探討，本書力求展現函數在數學各個分支中的普遍性與深刻性。我們相信，通過對本書內容的學習，讀者不僅能夠掌握分析學的基本工具，更能培養嚴謹的數學思維，為未來在更廣闊的數學及相關科學領域進行探索打下堅實的基礎。願本書能成為您在數學旅途中的有益伴侶。

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

我花瞭一些時間來研究這本書關於有界綫性算子的部分，這是一個我一直感到頭疼的領域。這本書在這方麵的處理，可以說是中規中矩，但缺少瞭一些令人眼前一亮的洞察力。它詳盡地列舉瞭各種算子的性質和它們的標準證明，比如自伴算子、緊算子等等。所有的內容都遵循瞭標準的測度論和泛函分析的框架，沒有什麼齣乎意料的創新。如果你是想通過這本書來係統地復習和鞏固那些已經學過的標準知識點，那麼它無疑是閤格的工具。然而，如果你的目的是想看到對這些概念更深層次的理解或者更現代的視角，這本書可能就顯得略微保守瞭。比如，它對希爾伯特空間中的算子譜理論的闡述，雖然完整，但似乎沒有充分挖掘齣其在量子力學等現代物理學中的直觀意義。我更傾嚮於那種能夠在理論框架內跳脫齣來，用更廣闊的視野來審視這些數學工具的著作，而這本書似乎更專注於將框架搭建得無比堅固，卻不太熱衷於展示框架之外的風景。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得相當樸實，黑白相間的字體，中間印著一個抽象的幾何圖形，很容易讓人聯想到數學的嚴謹與抽象。從目錄上看，內容覆蓋瞭從集閤論基礎到泛函分析的諸多重要章節，似乎對實數係統和函數空間的處理相當深入。我原本對這個領域有些畏懼，但翻閱前幾頁後，發現作者的敘述方式還算平易近人，尤其是對極限和連續性的鋪墊，用瞭不少直觀的例子來幫助理解。不過，我注意到，某些證明過程的跳躍性略大，對於初學者來說，可能需要在其他參考書上多做補充。例如，在勒貝格積分的引入部分，作者直接給齣瞭測度論的定義，並沒有過多地闡述為什麼需要這種新的積分方式取代黎曼積分，這使得理解的連貫性稍有欠缺。總的來說，它像一本為已經有一定數學基礎的讀者準備的進階教材，目標明確，內容紮實，但對於完全的門外漢來說，可能需要更耐心的指引。書的裝幀質量不錯，紙張略微偏黃，長時間閱讀也不會感到特彆刺眼，這是值得稱贊的一點。

评分☆☆☆☆☆

這本書的行文風格，我個人感覺更偏嚮於一種古典的數學教科書的韻味，嚴密、邏輯清晰，幾乎沒有多餘的“閑聊”。每一個定理的陳述都力求精確無誤，推導過程如同精密的機械裝置，環環相扣，不留任何可供揣測的餘地。當我讀到關於收斂性的討論時，那種步步為營的感覺非常強烈，作者似乎在刻意訓練讀者的邏輯思維，而非僅僅是知識的灌輸。這種風格的優點是顯而易見的：它確保瞭數學概念的純粹性和準確性。但缺點也相應地浮現齣來，那就是它有時會顯得有些冷峻和疏離。例如，在處理拓撲結構時，抽象的概念層齣不窮，如果讀者不能跟上作者的思維速度，很容易在某一個環節迷失方嚮，找不到“北”。我希望作者能在關鍵概念的引入處，能多用一些曆史背景或者實際應用作為潤滑劑，讓這些冰冷的數學符號更具“人情味”一些。總體而言，這是一本需要全神貫注、細細品味的“硬菜”。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書的理論深度感到敬佩，它對一些核心概念的論證達到瞭教科書級彆的嚴謹性。我特彆欣賞作者在處理測度空間之間映射的性質時所展現齣的細緻入微的分析。作者沒有迴避那些技術性的細節，而是將它們坦誠地擺在瞭讀者麵前，這需要閱讀者具備相當的耐心和數學成熟度。這種“毫不留情”的深度，使得這本書在理論層麵上具有很高的參考價值，尤其適閤作為研究生的參考書目。然而，也正因為這種深度，使得它在可讀性上打瞭摺扣。有些段落，即使是慢讀也需要反復咀嚼纔能完全消化，這使得整體閱讀進度顯得緩慢。我個人建議，如果讀者是想快速入門或瞭解某個特定主題的概覽，這本書可能不是最佳選擇。它更像是一部工具箱，裏麵裝滿瞭製作復雜數學結構所需的所有精密零件，你需要知道如何使用每一個零件，並且有足夠的耐心去組裝它們，纔能最終得到你想要的結果。

评分☆☆☆☆☆

這本書的排版質量令人稱贊，這一點在厚重的數學書籍中並不常見。字體選擇清晰易讀，公式的編號和引用都做得非常規範，這在需要頻繁參照公式推導的章節中，極大地提高瞭閱讀效率。特彆是那些涉及復雜積分符號和希臘字母的錶達式，印刷得乾淨利落，沒有齣現任何模糊或重影的情況。這錶明齣版方在製作過程中投入瞭相當的精力。此外，書後附帶的習題部分，分量適中，難度梯度設置閤理。從基礎的計算題到需要綜閤運用多個定理的難題都有涵蓋。不過，我注意到，大部分習題的答案和詳細解題過程都沒有提供，這對於自學者來說可能是一個不小的挑戰。如果能有一個配套的習題解析冊子，這本書的實用價值將會大大提升。對於那些習慣通過做題來檢驗學習效果的讀者，可能需要準備額外的資源來核對自己的思路和結果。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆