Foundations of Logic and Mathematics (International Encyclopaedia of Unified Sciences) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Univ of Chicago Pr (Tx)

作者:Rudolf Carnap

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1937-06

价格:USD 4.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780226575780

丛书系列:

图书标签:

• 逻辑学
• 数学基础
• 统一科学百科全书
• 哲学
• 数学哲学
• 逻辑哲学
• 集合论
• 数理逻辑
• 形式系统
• 科学哲学

逻辑与数学基石：思想的严谨性与结构的精妙 这部作品深入探究了逻辑与数学这两个构筑现代思想体系的宏伟支柱。它并非仅仅罗列枯燥的符号与定理，而是致力于揭示隐藏在这两者背后的深刻哲学意涵、历史演进以及它们如何共同塑造了我们理解世界的方式。书中，我们将会踏上一段旅程，从逻辑学的最原始萌芽开始，追溯其如何在亚里士多德的体系中初现端倪，又如何在近代哲学家的手中获得新生，最终演变为现代形式逻辑的严谨与普适。同时，数学的基石——数字、集合、公理系统——也将在此得到细致的剖析，展现其内在的完美结构与无限可能性。 第一部分：逻辑的演进与力量 逻辑，作为思维的规则与推理的工具，其发展史是一部人类理性不断突破边界的壮丽篇章。本书将首先回溯至古希腊，聚焦于亚里士多德的三段论。我们将详细阐述三段论的构成要素、推理模式以及其在早期哲学与科学中的巨大影响力。但这并非终点，我们将继续前行，探索中世纪经院哲学家们在逻辑学上的贡献，以及他们如何试图将逻辑应用于神学与哲学论证。 然而，真正的革新发生在近代。本书将详细介绍布尔的逻辑代数，这一革命性的思想将逻辑与代数运算巧妙地结合起来，为后来计算机科学的发展奠定了理论基础。我们将深入理解析集合论如何改变了数学的根基，以及弗雷格如何试图通过逻辑主义的宏大愿景，将数学完全还原为逻辑。弗雷格的《概念文字》虽然雄心勃勃，但也为后来的逻辑学家们指明了方向，并引发了深刻的讨论。 进入20世纪，罗素与怀特海的《数学原理》无疑是逻辑学史上的里程碑。我们将对其核心思想进行深入解读，特别是其在解决集合论悖论方面的努力，以及其对数学公理化体系的构建。本书还将重点介绍希尔伯特的数学基础研究计划，探讨他对于数学完备性、一致性与可判定性的追求，以及这一计划对整个20世纪数学研究产生的深远影响。 当然，我们无法回避哥德尔不完备定理的革命性冲击。我们将以清晰易懂的方式解释这两个定理的内涵，揭示在任何足够强大的形式系统中，都必然存在无法被证明或证伪的命题，以及任何一致的公理系统都无法证明自身的一致性。哥德尔的成果不仅深刻地改变了我们对数学本质的认识，也对逻辑学、哲学甚至计算机科学产生了颠覆性的影响。 此外，本书还将探讨图灵机的概念，以及它在可计算性理论中的核心地位。我们将理解图灵机如何成为计算的通用模型，并探讨与之相关的停机问题等 fundamental 议题。我们还将触及模态逻辑、道义逻辑等非经典逻辑的发展，展示逻辑学如何不断拓展其应用领域，以处理更复杂的推理模式和概念。 第二部分：数学的结构与奥秘 数学，作为一门研究数量、结构、空间和变化及其推广的科学，其逻辑根基同样至关重要。本书将从最基础的概念入手，深入剖析数学世界的结构。 首先，我们将从集合论的视角审视数学。我们将详细介绍集合的基本概念，如元素、子集、并集、交集等，并探讨康托尔的集合论如何为现代数学提供了一个统一的框架。我们将深入理解基数、序数等概念，以及它们在比较和理解不同大小的集合时的作用。本书还将讨论集合论中的一些重要公理，如策梅洛-弗兰克尔公理系统（ZF）及其包含选择公理的版本（ZFC），并探讨这些公理的必要性与重要性。 接下来，我们将转向数系的构建。我们将从自然数开始，追溯整数、有理数、实数乃至复数的产生过程。我们将详细阐述每种数系的定义、性质以及它们之间的关系，并探讨它们在数学和科学中的应用。特别是实数的完备性，以及它如何通过戴德金分割或柯西序列等方式得以保证，将是本书重点关注的内容。 公理化方法是数学严谨性的基石。本书将深入讲解什么是公理，以及它们如何在数学理论中扮演的角色。我们将以欧几里得几何为例，分析其公理体系的优点与局限，并探讨非欧几何的出现如何证明了公理系统的多样性与相对性。我们将进一步介绍数学中的其他重要公理系统，如群论、环论、域论等的公理定义，展示公理化如何赋予数学理论精确的定义和强大的演绎能力。 本书还将探讨证明在数学中的核心地位。我们将分析不同类型的证明，如直接证明、反证法、数学归纳法等，并阐述数学证明的严谨性要求。我们将探讨形式系统的构建，以及如何通过符号、规则和推理步骤来构建一个完整的数学理论。 此外，本书还将简要介绍数学中一些与逻辑和基础紧密相关的分支，如递归论，它研究可计算函数和可计算性问题；模型论，它研究数学理论的模型；以及证明论，它研究证明的结构和性质。 第三部分：逻辑与数学的交织与融合 本书的最后部分将聚焦于逻辑与数学之间密不可分的关系。我们将深入探讨逻辑如何成为数学的语言和工具，以及数学的发展如何反过来促进了逻辑学的进步。 我们将分析形式语言在逻辑和数学中的作用，以及如何通过形式化来消除歧义，确保推理的精确性。我们将探讨逻辑等价的概念，以及如何使用逻辑规则来进行等价变换，简化复杂的表达式。 本书还将讨论哥德尔不完备定理对数学哲学产生的深远影响。它不仅揭示了数学形式系统的局限性，也引发了关于数学知识的本质、有限性与无限性等哲学问题的深刻思考。我们将探讨数学主义、直觉主义、形式主义等不同的数学哲学流派，以及它们对逻辑与数学基础的不同理解。 最后，我们将展望逻辑与数学在现代科学技术中的广泛应用。从计算机科学的算法设计、程序验证，到人工智能的推理引擎，再到哲学的分析哲学、语言哲学，逻辑与数学的严谨思想无处不在。本书将强调，理解逻辑与数学的基石，不仅是对抽象思维的训练，更是掌握现代世界运行规律的关键。 这部作品旨在为读者提供一个全面而深刻的理解，使我们能够欣赏逻辑与数学这两个伟大领域所蕴含的深刻智慧，以及它们如何共同构筑了人类知识体系的坚实基石，并继续指引着我们探索未知的思想疆域。

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