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出版者:Springer

作者:L.P. Lebedev

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:2002-6-30

价格:USD 145.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781402006678

丛书系列:

图书标签:

泛函分析
数学分析
实分析
算子理论
巴拿赫空间
希尔伯特空间
谱理论
拓扑向量空间
泛函
数学

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具体描述

This is a book for people who want to use functional analysis to justify approximate methods in Mechanics and Inverse Problems. It provides such researchers with the tools they need without having to assimilate or skip through concepts they do not need. For the applied mathematician, the essential difficulty attending the study of functional analysis is that the pure mathematicians who have developed the field have carried the process of abstraction, which is the essence of functional analysis, to increasingly higher levels. In this book, the authors have kept the level of abstraction high enough for the majority of applications, and have resisted the temptation to abstract to the limit. The book can be used for a lecture course or for self study; there are exercises throughout, and references for further study. This new edition corrects a number of typographical and logical errors in the first edition.

《功能分析：数学的基石与应用》核心内容概述《功能分析：数学的基石与应用》是一部深度探讨现代数学核心分支——函数空间理论的学术专著。本书以严谨的数学语言，系统地梳理了函数分析的发展脉络，深入剖析了其核心概念、基本定理及其在各个数学领域的广泛应用。本书旨在为数学专业高年级本科生、研究生以及从事相关研究的学者提供一份全面而深入的参考，引领读者领略函数分析的抽象之美，洞察其强大的理论力量。第一部分：基本概念与框架本书的开篇，我们首先建立起函数分析的理论基石。这包括对度量空间概念的详尽阐释。度量空间作为泛函分析的“画布”，是理解后续拓扑结构的基础。我们将详细讨论度量空间的定义、性质，例如完备性、可分性等，并引入一系列重要的度量空间实例，如欧几里得空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等，为后续章节的深入研究奠定坚实的基础。紧接着，本书将聚焦于拓扑空间。我们认为，度量空间只是拓扑空间的一个特殊例子。因此，深入理解拓扑空间的概念至关重要。我们将阐述拓扑的定义、开集、闭集、邻域、稠密集、紧集等基本概念，并探讨拓扑空间的积、商等构造方法。拓扑学提供了描述“接近”和“连续”的语言，这在函数分析中扮演着不可或缺的角色。在建立了度量空间和拓扑空间的概念之后，本书将引入线性空间（向量空间）的概念。函数分析的核心在于研究定义在向量空间上的“函数”，因此，理解向量空间的结构是必不可少的。我们将讨论线性空间的定义、子空间、商空间、对偶空间等。特别地，我们将着重介绍赋范线性空间，即带有范数（一种度量距离的特殊方式）的线性空间。范数赋予了向量空间“大小”的概念，这对于定义收敛性、连续性和有界性至关重要。第二部分：核心理论与定理本书的核心部分将系统地介绍函数分析的几个关键理论与定理，它们构成了该学科的骨架。巴拿赫空间：我们对巴拿赫空间进行深入剖析。巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，其完备性保证了序列收敛的某些重要性质，使得许多分析过程得以有效进行。本书将详细阐述巴拿赫空间的构造、性质，并给出若干重要的巴拿赫空间实例，如 $L^p$ 空间、$C(X)$ 空间（连续函数空间）等。希尔伯特空间：作为巴拿赫空间的一个重要子类，希尔伯特空间拥有内积，这为我们提供了“角度”和“正交性”的概念。内积的存在使得我们可以利用几何直观来理解和解决问题。我们将深入研究希尔伯特空间的定义、性质，特别是其正交基、投影定理、Riesz表示定理等，这些定理在量子力学、信号处理等领域有着极其重要的应用。有界线性算子：函数分析的核心研究对象之一是有界线性算子。这些算子将一个赋范线性空间映射到另一个，并且其“大小”受到范数限制。我们将深入研究有界线性算子的定义、性质，包括其范数、核、像空间等。本书将详细阐述开映射定理、闭图定理和一致有界原理。这三大基本定理是函数分析中具有里程碑意义的成果，它们揭示了有界线性算子之间深刻的内在联系，并为证明许多重要的分析结果提供了强有力的工具。对偶空间与范函：我们也将对对偶空间进行深入的探讨。一个线性空间的对偶空间是所有连续线性泛函的集合。对偶空间的重要性在于，它往往能提供关于原空间更丰富的信息。本书将阐述对偶空间的性质，特别是Hahn-Banach定理，该定理是函数分析中最基本也是最重要的定理之一，它保证了在许多情况下，线性泛函可以被“延拓”到整个空间。谱理论：谱理论是函数分析中一个非常活跃且重要的研究领域，尤其是在处理线性算子时。它研究的是算子在复数域上的“谱”，这可以看作是算子的“特征值”的推广。本书将介绍紧算子的谱性质，以及有界算子的谱的定义和基本性质，为后续深入研究算子代数和微分方程等打下基础。第三部分：应用与拓展《功能分析：数学的基石与应用》并非仅仅停留在抽象的理论层面，而是致力于展现函数分析在各个领域的强大生命力。微分方程：函数分析为研究常微分方程和偏微分方程提供了强大的分析工具。我们将在书中展示如何利用巴拿赫空间和希尔伯特空间的理论来证明微分方程解的存在性、唯一性以及解的正则性。特别是，我们将介绍Sobolev空间的概念，并展示其在处理具有弱解的偏微分方程问题中的关键作用。积分方程：积分方程是另一类可以通过函数分析方法有效处理的方程。本书将介绍Banach不动点定理在求解积分方程中的应用，以及利用算子理论来分析积分算子的性质。逼近论：逼近论研究如何用简单的函数（如多项式、样条函数）来逼近复杂的函数。函数分析的工具，如范数、内积以及函数空间的结构，为量化逼近的“好坏”提供了严谨的数学框架。量子力学：作为函数分析最著名的应用之一，量子力学中的许多基本概念，如态空间、可观测量、薛定谔方程等，都建立在希尔伯特空间和算子代数之上。本书将介绍量子力学中函数分析的一些基本应用，让读者体会数学抽象如何转化为对微观世界的描述。其他应用：此外，本书还将简要介绍函数分析在调和分析、优化理论、控制理论以及泛函分析自身在其他数学分支（如代数、几何）中的交叉应用。学习方法与读者定位本书采用循序渐进、由浅入深的编写方式，力求清晰透彻地阐述每一个概念和定理。每个章节都配有精心设计的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并启发其独立思考的能力。本书的语言严谨而生动，既保证了学术的准确性，又不失数学的趣味性。本书的读者对象主要是：数学专业高年级本科生：作为函数分析课程的教材或参考书，帮助学生建立扎实的理论基础。数学专业研究生：深入学习函数分析的进阶内容，为博士阶段的研究打下坚实基础。从事相关研究的学者：提供一本全面而深入的参考工具书，帮助梳理和更新知识体系。对数学分析理论及其应用感兴趣的读者：希望了解函数分析的宏观图景和应用前景，但具备一定数学基础。结语《功能分析：数学的基石与应用》旨在成为函数分析领域的经典著作。我们相信，通过对本书内容的学习，读者不仅能掌握函数分析的核心理论，更能体会到数学的逻辑之美、抽象之美以及应用之美。函数分析的力量在于它将离散的代数结构与连续的几何概念相结合，为解决现代科学和工程领域中的复杂问题提供了无与伦比的数学语言和工具。希望本书能成为您探索函数分析奥秘的忠实伙伴。