Introduction to Linear Algebra With Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall College Div

作者:Stephen H. Friedberg

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1986-01

价格:USD 65.33

装帧:Hardcover

isbn号码:9780134859880

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 应用
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 矩阵
• 向量
• 方程组
• 数值计算
• 工程数学

线性代数：探索数学的基石与应用 线性代数，作为现代数学的核心分支之一，以其简洁优雅的语言和强大的表达能力，深刻地影响着科学、工程、经济、计算机科学等众多领域。它不仅仅是一门抽象的数学理论，更是一种看待和解决问题的有力工具。本书旨在为读者揭示线性代数的核心概念，并展示其在现实世界中的广泛应用，帮助读者建立起坚实的数学基础，并培养运用数学解决实际问题的能力。 第一部分：向量与向量空间——构建抽象的舞台 线性代数之旅，从向量开始。我们首先会学习向量的基本概念，理解向量的几何意义——方向和大小。我们将探索向量的加法和标量乘法，以及它们所遵循的代数规则。通过这些操作，我们能将多个向量组合起来，形成新的向量，这为后续更复杂的概念奠定了基础。 随后，我们将引入向量空间的思想。向量空间是一个集合，其中的元素（向量）遵循特定的加法和标量乘法规则。我们将深入理解向量空间的定义、性质以及常见的向量空间，例如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$。理解向量空间，就如同为我们构建了一个抽象的“舞台”，所有的线性代数运算和理论都将在这个舞台上展开。 第二部分：矩阵——线性变换的语言 矩阵，是线性代数中最具代表性的数学对象之一。它是一个由数字组成的矩形阵列，但其意义远不止于此。我们将学习矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵乘法。矩阵乘法尤其重要，它揭示了矩阵作为线性变换的本质。当我们用一个矩阵乘以一个向量时，实际上是在对向量进行一次线性变换，例如旋转、缩放、剪切等。 我们将深入研究矩阵的性质，包括矩阵的转置、方阵的行列式、逆矩阵以及迹。行列式是一个重要的数值，它能够告诉我们一个方阵是否可逆，以及它所代表的线性变换是否会压缩或拉伸空间。逆矩阵则扮演着“还原”的角色，如果一个线性变换可以通过一个矩阵表示，那么其逆变换就可以通过该矩阵的逆矩阵表示。 第三部分：线性方程组——求解世界的奥秘 线性方程组是现实世界中许多问题建模的基础。例如，在工程领域，求解电路中的电流电压关系；在经济领域，分析供需平衡；在计算机图形学中，进行三维变换。我们将学习如何用矩阵和向量来表示线性方程组，从而将其转化为线性代数问题。 本书将介绍求解线性方程组的多种方法，包括高斯消元法、高斯-约旦消元法。我们将理解消元法的原理，如何通过一系列行变换将增广矩阵化简为行阶梯形或简化行阶梯形，从而找到方程组的解。我们还将探讨线性方程组解的性质，包括唯一解、无穷多解和无解的情况，并理解它们与系数矩阵的秩之间的关系。 第四部分：向量空间的结构——维度与基 在向量空间这个抽象的舞台上，理解其“结构”至关重要。我们将引入线性无关和线性相关的概念，这是理解向量组是否冗余的关键。如果一个向量组中的任何向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么这个向量组就是线性无关的。 线性无关向量组张成的空间，就是向量空间的一个“子空间”。我们将学习子空间的概念，以及它们的性质，例如零子空间和整个向量空间本身。 维度，是衡量向量空间“大小”或“自由度”的一个基本概念。向量空间的维度等于其任意一个基所包含的向量个数。基，是一组线性无关的向量，它们能够张成整个向量空间。理解向量空间的基，就如同找到了一组“基本单位”，任何空间中的向量都可以通过这组基本单位的线性组合来表示。我们将学习如何寻找一个向量空间的基，以及如何理解不同基之间的转换。 第五部分：特征值与特征向量——揭示变换的本质 特征值和特征向量是线性代数中一个尤为深刻的概念，它们揭示了线性变换在特定方向上的“不变性”。当我们对一个向量应用一个线性变换时，如果变换后的向量仅仅是原向量的标量倍，那么这个向量就是该线性变换的特征向量，而那个标量就是对应的特征值。 特征值和特征向量在理解线性系统的稳定性、动力学系统、主成分分析等领域有着至关重要的作用。我们将学习如何计算一个方阵的特征值和特征向量，并理解它们在几何上和代数上的意义。例如，特征值的大小可以反映出变换在对应特征向量方向上的拉伸或压缩程度。 第六部分：内积空间——引入几何的度量 虽然我们已经了解了向量的加法和标量乘法，但为了更全面地描述向量的几何性质，我们需要引入“内积”的概念。内积可以看作是两个向量的“乘积”，它能够计算向量的长度（范数）、向量之间的夹角，以及判断向量的 Orthogonality（正交性）。 我们将学习常见的内积形式，例如点积，并探讨内积空间的基本性质。正交向量组在许多应用中非常有用，例如傅里叶分析、信号处理等，因为它们能够简化计算并提供更直观的几何解释。我们将学习如何构造正交基，例如格拉姆-施密特正交化方法。 第七部分：线性代数的应用——赋能各行各业 本书的最后部分，我们将重点关注线性代数在各个领域的实际应用，力求让读者深刻体会到线性代数作为强大工具的价值。 计算机图形学： 矩阵变换是三维图形渲染、相机投影、物体变形的基础。学习矩阵如何表示旋转、缩放、平移，以及如何组合这些变换来创建复杂的视觉效果。 数据科学与机器学习： 线性代数是理解和实现许多机器学习算法的核心。从线性回归、主成分分析（PCA）到支持向量机（SVM）和神经网络，都离不开矩阵运算、特征值分解、奇异值分解（SVD）等线性代数概念。 工程学： 求解结构力学中的应力应变、电路分析中的电流电压、控制系统中的状态方程，都依赖于线性方程组的求解和矩阵的分析。 经济学： 投入产出模型、线性规划、市场均衡分析等，都大量运用线性代数来描述和预测经济现象。 物理学： 量子力学中的状态向量、算符，相对论中的洛伦兹变换，都以线性代数的语言进行表述。 通过对这些应用的介绍，读者将能够看到线性代数不仅仅是纸面上的公式，而是解决实际问题的强大引擎。本书将引导读者思考如何将现实问题转化为线性代数模型，并运用所学知识求解。 学习目标： 本书的学习目标是： 1. 掌握核心概念： 深刻理解向量、向量空间、矩阵、线性变换、线性方程组、特征值与特征向量、内积等基本概念。 2. 熟练运算技巧： 能够熟练进行矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量。 3. 理解理论联系： 能够理解线性代数各个概念之间的内在联系，以及它们在几何和代数上的意义。 4. 培养应用能力： 能够识别和建立现实世界问题中的线性模型，并运用线性代数工具进行求解和分析。 5. 建立数学思维： 培养严谨的数学逻辑思维能力，以及抽象思考和问题解决的能力。 无论您是数学专业的学生，还是其他学科的研究者，亦或是对数学抱有浓厚兴趣的爱好者，本书都将是您探索线性代数世界的绝佳起点。通过本书的学习，您将不仅仅掌握一门数学工具，更将获得一种看待和理解世界的新视角。

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