Nonlinear Functional Analysis and Its Applications pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Eberhard Zeidler

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1985-12-31

价格:USD 174.54

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540909156

丛书系列:

图书标签:

泛函分析
非线性泛函分析
泛函分析
应用数学
数学分析
拓扑学
优化
偏微分方程
数值分析
函数空间
Banach空间

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具体描述

《非线性泛函分析及其应用》本书是一部深入探讨非线性泛函分析这一数学分支的著作，旨在为读者提供坚实的理论基础和丰富的应用视角。本书的叙述严谨且条理清晰，涵盖了该领域的核心概念、关键定理以及重要的研究方法，并着重阐述了这些理论如何在物理学、工程学、经济学等多个学科中展现出强大的生命力。第一部分：基础理论与工具本部分奠定了整个非线性泛函分析的理论基石。我们将从Banach空间和Hilbert空间的定义与基本性质入手，回顾连续线性算子、有界线性算子等概念，为后续的讨论做好铺垫。随后，将重点介绍赋范线性空间的拓扑结构，包括开集、闭集、紧集、完备性等重要性质，这些性质是理解和构建非线性泛函分析理论的关键。接着，我们将深入到度量空间的范畴，探讨完备度量空间中的不动点定理，特别是Banach压缩映射原理。这个定理不仅是解决许多方程问题的有力工具，也为理解迭代过程的收敛性提供了理论依据。我们将通过一系列精心设计的例子，展示该定理在求解微分方程、积分方程以及离散动力系统中的应用。本部分还将引入凸分析的基本概念，包括凸集、凸函数、凸包、支撑函数等。凸性在优化问题和不动点理论中扮演着至关重要的角色。我们将介绍Jensen不等式、Fenchel不等式等关键不等式，并探讨极值点和最优化问题的求解，为后续的凸优化理论打下基础。第二部分：非线性算子与方程在掌握了基础工具后，本书将转向核心内容——非线性算子。我们将定义并研究全连续算子、单调算子、紧算子等。这些算子类型的选取往往与具体的应用场景紧密相关。本书将详细介绍Leray-Schauder不动点理论，它将Banach压缩映射原理推广到更广泛的范围内，允许算子不再是压缩的，但具有某些“紧性”的特征。我们将深入理解锥的概念，以及与锥相关的正规锥和锥的不动点。这为求解涉及正解的方程提供了重要的理论框架。接下来，我们将探讨单调算子理论。单调算子在偏微分方程、变分不等式等领域有着极其广泛的应用。我们将介绍Minty-Browder定理，该定理给出了单调算子存在不动点的充分条件。我们还将学习 Maximal monotone operators 的概念及其性质，这在分布式优化和变分学中扮演着核心角色。第三部分：特殊空间与高级方法为了应对更复杂的非线性问题，本书将介绍一些特殊类型的函数空间及其理论。Sobolev空间是处理偏微分方程中弱解理论的核心，我们将探讨其嵌入定理、迹定理等关键性质。Orlicz空间和Lebesgue-Orlicz空间则为处理具有不同增长特性的函数提供了更灵活的框架。此外，本书还将引入变分方法。变分法将求解方程的问题转化为寻找某个泛函的极小值点。我们将介绍直接法，如Minimax原理、山峰定理（Mountain Pass Theorem）、Ekeland变分原理等。这些方法在研究非线性椭圆型方程、非线性波动方程等领域取得了巨大成功。第四部分：应用篇章本书的最后部分将聚焦于非线性泛函分析在各个领域的具体应用。常微分方程与偏微分方程：我们将展示如何利用不动点理论、单调算子理论和变分方法来证明常微分方程和偏微分方程边值问题、初值问题以及周期解的存在性、唯一性和光滑性。例如，证明拉格朗日方程的周期解，或者证明某些非线性椭圆方程解的存在性。积分方程：书中将探讨Fredholm积分方程和Volterra积分方程的非线性情形，并展示不动点定理在求解这些方程中的作用。优化理论：非线性泛函分析是现代优化理论的基石。我们将深入探讨凸优化、非凸优化以及约束优化问题。书中将介绍KKT条件及其推广，以及对偶理论在求解大型优化问题中的重要性。逼近论：非线性逼近问题，例如寻找最佳逼近元，也是本书探讨的范畴。我们将介绍一些逼近误差的估计方法。其他应用：简要介绍非线性泛函分析在控制理论、图论、博弈论、模糊数学以及统计学等领域的应用，展现该理论的广泛适用性。本书适合于对数学有浓厚兴趣的本科高年级学生、研究生以及相关领域的科研人员。通过学习本书，读者将能够掌握非线性泛函分析的强大工具，并将其灵活运用到解决实际科学和工程问题中。本书的编写力求严谨与直观并重，理论与应用相结合，希望能够激发读者在该领域的进一步探索和研究。