Geometry of Low-Dimensional Manifolds, Vol. 1 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Donaldson, S. K.; Thomas, C. B.; Donaldson, S. K.

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:1991-1-25

价格:USD 63.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521399784

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

数学
几何学
低维流形
拓扑学
微分几何
流形
数学
几何与拓扑
代数拓扑
微分流形
数学分析

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具体描述

This volume is based on lecture courses and seminars given at the LMS Durham Symposium on the geometry of low-dimensional manifolds. This area has been one of intense research during the 1990s, with major breakthroughs that have illuminated the way a number of different subjects interact (for example: topology, differential and algebraic geometry and mathematical physics). The workshop brought together a number of distinguished figures to give lecture courses and seminars in these subjects; the volume that has resulted is the only expository source for much of the material, and will be essential for all research workers in geometry and mathematical physics.

《低维流形的几何学，卷一》一、核心主题与研究范畴本书《低维流形的几何学，卷一》深入探讨了低维（二维和三维）流形在几何学领域中的深刻结构与性质。它并非仅仅是对基本概念的罗列，而是旨在揭示这些看似简单的几何对象背后所蕴含的复杂数学美学与严谨逻辑。本书的核心在于理解流形的拓扑特征如何与其几何属性相互作用，以及这种互动如何塑造了其内在的、外在的和全局的属性。具体而言，本书的研究范畴涵盖了：二维流形：主要聚焦于曲面（surfaces）的分类、嵌入以及其上的几何度量。这包括对紧致曲面的基本分类，例如球面、环面、射影平面以及具有不同亏格的曲面，并利用其拓扑不变量（如欧拉示性数）来区分它们。同时，本书还将探讨曲面上的黎曼度量，以及与曲率相关的概念，如高斯曲率，并将其与曲面的几何形状和拓扑结构联系起来。三维流形：这是本书的另一大重点。研究对象是三维空间中的流形，其复杂性远超二维。本书将引入描述三维流形几何性质的基本工具，例如微分形式、向量场以及曲率张量。在此基础上，我们将深入探讨三维流形的重要分类定理，特别是围绕着庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）及其相关理论展开的讨论，如瑟斯顿几何化猜想（Thurston's Geometrization Conjecture）的初步概念。拓扑与几何的交织：本书的核心思想在于强调拓扑性质（形状的不变性，如连通分支、孔洞的数量）与几何性质（局部弯曲程度，如曲率）之间的紧密联系。例如，一个曲面的亏格（拓扑性质）决定了它在三维欧氏空间中嵌入时可能存在的曲率分布（几何性质）。同样，三维流形的某些拓扑特征，如其基本群，能够影响其可以容纳的几何结构。流形上的微分结构：作为流形研究的基础，本书将详细阐述流形的微分结构，包括图册、相容性以及光滑函数。这为后续讨论微分几何中的重要概念，如切空间、向量场、微分形式和黎曼度量提供了必要的理论框架。二、主要内容与探讨方向《低维流形的几何学，卷一》的章节安排旨在循序渐进地引导读者掌握低维流形的核心概念与分析工具。 1. 流形的基础概念：拓扑空间与流形定义：从一般拓扑空间出发，引入流形的局部欧氏性、可微性等关键定义。图册与光滑结构：详细介绍图册（charts）的概念，以及如何通过定义相容性来构建流形上的光滑结构。切空间与向量场：定义流形上的切空间，并在此基础上研究向量场及其动力学性质。微分形式：引入微分形式，这是理解流形上积分、曲率以及微分几何分析的有力工具。 2. 二维流形的几何学：曲面的分类：探讨紧致曲面的拓扑分类，引入亏格、欧拉示性数等不变量。黎曼度量与曲率：定义曲面上的黎曼度量，进而计算高斯曲率，并研究高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem）如何将曲率与拓扑联系起来。嵌入与正则性：讨论曲面如何嵌入到欧氏空间中，以及相关的浸入（immersion）和嵌入（embedding）的概念。 3. 三维流形的初步探讨：微分几何工具的应用：将在二维流形中建立的微分几何工具推广到三维流形，包括黎曼度量、曲率张量、里奇曲率等。三维流形的拓扑特性：介绍描述三维流形拓扑结构的基本不变量，特别是基本群（fundamental group）及其重要性。庞加莱猜想与几何化：初步介绍庞加莱猜想的核心思想，即任何单连通的闭合三维流形都与三维球面同胚。并为理解瑟斯顿几何化猜想埋下伏笔，介绍其将三维流形分解为具有标准几何结构的“块”的思想。三、学习价值与适用读者本书的编写目标是为数学专业学生、研究人员以及对几何学感兴趣的广大读者提供一个坚实的基础。学术研究的基石：本书为进一步深入研究微分几何、拓扑学、代数拓扑以及理论物理（如广义相对论和弦论）等领域提供了不可或缺的数学语言和工具。严谨的数学训练：通过本书的学习，读者将能够掌握流形理论的核心概念，培养严谨的数学思维和分析能力。概念的深入理解：本书并非枯燥的定理证明堆砌，而是力求通过清晰的阐述和恰当的例子，帮助读者深入理解低维流形中拓扑与几何的深刻联系。本书内容具有一定的深度和广度，适合具备微积分、线性代数以及基础拓扑学知识的读者。对于初学者而言，本书将是一次富有挑战但收获颇丰的学习旅程；对于已有相关基础的读者，本书将进一步拓展其视野，加深其对数学抽象世界的理解。《低维流形的几何学，卷一》旨在打开一扇通往迷人数学世界的大门，引领读者探索低维流形的美妙结构与深刻原理。