Families of Curves in Pp3s and Zeuthen's Problem pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Robin Hartshorne

出品人:

页数:96

译者:

出版时间:1997-11

价格:USD 41.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821806487

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 射影几何
• 曲线族
• 泽森问题
• 复代数曲线
• 奇异点
• 正则映射
• 代数曲面
• 黎曼球面
• 代数拓扑

《代数几何的光辉：从簇的家族到高维空间的几何奥秘》 在数学的浩瀚宇宙中，代数几何以其独特的视角，将代数与几何的抽象之美融为一体。它不仅描绘了空间的内在结构，更揭示了其在代数运算下所展现出的深刻规律。本书旨在带领读者深入探索代数几何的核心概念，特别是聚焦于簇（variety）这一基本对象，并以此为切入点，揭开高维代数簇（projective spaces，简称Pp3s）中簇的家族所蕴含的丰富几何信息。同时，我们将触及代数几何史上一个颇具挑战性的问题——Zeuthen问题，并对其进行深入的探讨。 第一章：代数簇的基石——从定义到性质 本章将为读者构建扎实的代数几何基础。我们将从多项式方程组的零点集出发，引入代数簇的概念，解释齐次坐标在高维投影空间中的重要性。读者将了解仿射簇与射影簇的区别与联系，以及它们在几何研究中的作用。我们将详细介绍理想（ideal）与簇之间的对应关系，这是代数几何的核心思想之一。诸如维度（dimension）、光滑性（smoothness）等基本几何性质也将被逐一阐述，为后续深入的讨论奠定基础。 第二章：Pp3s中的几何——投影空间的丰富图景 Pp3s，即三维投影空间，是本书关注的舞台。我们将详细介绍Pp3s的结构，包括其点、线、平面以及更高维子空间。读者将学习如何在高维空间中描述和研究几何对象。本章将重点讨论Pp3s中簇的几何性质，例如簇的相交理论（intersection theory）初步，以及簇的度（degree）等重要不变量。通过实例，我们将展示 Pp3s 中几何对象之间相互作用的复杂性与规律性。 第三章：簇的家族——参数化与形变的研究 “簇的家族”是本书的核心主题之一。我们并非孤立地研究一个特定的簇，而是关注由参数控制的一系列簇。本章将介绍如何通过参数来描述簇的形变（deformation）。例如，我们可以考虑一个包含所有三次平面曲线的“空间”，并观察它们如何随着参数的变化而相互转化。我们将引入簇的模空间（moduli space）的概念，它是一个特殊的空间，其上的点对应着一类特定的簇。通过模空间的几何结构，我们可以研究簇的分类和形变。这一部分的探讨将涉及代数几何中许多深刻的理论，例如簇的谱（shemoduli）和簇的模理论。 第四章：Zeuthen问题的探索 Zeuthen问题是代数几何史上一道著名的难题，它涉及到代数曲面（algebraic surfaces）的分类和几何不变式。本章将详细介绍Zeuthen问题的提出背景、历史演变以及数学家们为解决它所做的努力。我们将探讨与Zeuthen问题相关的关键概念，例如曲面的不变量（invariants）、亏格（genus）、雅可比簇（Jacobian varieties）等。虽然Zeuthen问题本身的最终解决可能超出了本书的范围，但对其的探讨将为读者提供一个窗口，窥见代数几何在解决复杂几何问题时的思维方式和研究方法。我们将重点分析该问题中涉及到的具体几何对象和代数关系，揭示其内在的数学挑战。 第五章：工具与方法——代数几何的研究手段 为了深入理解簇的家族和Zeuthen问题，本章将介绍一些代数几何中常用的工具和方法。我们将触及更高级的概念，例如层的理论（sheaf theory）、范畴论（category theory）在代数几何中的应用。读者将了解如何利用这些抽象但强大的工具来研究几何对象的结构和性质。对于簇的形变，我们将介绍一些具体的计算方法和理论框架。例如，我们可以学习如何利用代数技巧来计算模空间的维度，或者如何分析簇的奇异性（singularities）。 第六章：展望与联系——代数几何的广阔前景 在本书的结尾，我们将对所学内容进行总结，并展望代数几何在其他数学分支以及理论物理等领域的应用。代数几何与数论、拓扑学、微分几何之间存在着深刻的联系。我们将简要介绍一些现代代数几何的研究前沿，例如量子代数几何（quantum algebraic geometry）和非交换代数几何（noncommutative algebraic geometry）。通过对簇家族和Zeuthen问题的深入分析，读者将体会到代数几何作为一门既古老又充满活力的学科的魅力，并对其未来的发展充满期待。 本书旨在为对代数几何感兴趣的读者提供一个全面而深入的导引。通过对Pp3s中簇的家族的研究，以及对Zeuthen问题的探索，我们希望能够激发读者对数学抽象之美的热爱，并为其进一步探索代数几何的奥秘打下坚实的基础。本书力求用清晰的语言和恰当的例子，将复杂的概念变得易于理解，使读者在享受阅读乐趣的同时，也能获得深刻的数学洞见。

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