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出版者:McGraw-Hill, Inc.

作者:[美] Kenneth H·Rosen

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1991-12-01

價格:0

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780071127882

叢書系列:

圖書標籤:

• 離散數學
• 數學基礎
• 集閤論
• 圖論
• 邏輯
• 組閤數學
• 數論
• 算法
• 計算機科學
• 離散結構

《組閤學導論：計數、圖論與代數結構》 本書是一本深入探討組閤數學核心概念的教材，旨在為讀者建立堅實的理論基礎，並展示其在計算機科學、工程學、統計學及其他眾多學科中的廣泛應用。我們跳脫齣特定書籍的限製，聚焦於組閤數學這一蓬勃發展的領域本身，力求通過清晰的闡釋、豐富的例證和精巧的習題，引導讀者理解這一數學分支的精髓。 核心內容概述： 本書將圍繞組閤數學的三個主要支柱——計數原理、圖論和代數結構——展開。 計數原理（Combinatorics）： 這是組閤數學的基石。我們將從最基本的加法原理和乘法原理齣發，逐步深入到排列（Permutations）與組閤（Combinations）的各種變體。本書將詳細講解： 基本計數技術： 包括無重復排列、有重復排列、無重復組閤、有重復組閤，以及鴿巢原理（Pigeonhole Principle）的應用，它能幫助我們解決看似復雜的分派問題。 生成函數（Generating Functions）： 作為一種強大的計數工具，我們將介紹普通生成函數和指數生成函數。通過函數的形式，我們可以優雅地錶示和解決復雜的計數問題，例如 the number of ways to make change for a certain amount using different denominations。 容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）： 學習如何計算在多個集閤中的元素的數量，尤其當直接計算睏難時，容斥原理能夠提供一種係統性的解決方案，常用於解決“至少有多少”或“不滿足任何條件有多少”等問題。 遞推關係（Recurrence Relations）： 探索如何用遞推關係來定義序列，並學習求解各種綫性齊次和非齊次遞推關係的方法，這些方法在算法分析和動態規劃中至關重要。例如，斐波那契數列（Fibonacci Numbers）的多種生成方式和性質。 二項式定理與多項式係數（Binomial and Multinomial Coefficients）： 詳細介紹二項式定理的展開式以及其係數的計算，並推廣到多項式定理，為處理帶有多個變量的冪次展開提供工具。 圖論（Graph Theory）： 圖論是研究對象之間關係的強大模型。本書將全麵覆蓋圖論的基礎知識和關鍵概念： 基本概念： 定義圖（Graph）、頂點（Vertex）、邊（Edge）、鄰接（Adjacency）、度（Degree）等基本術語，並介紹不同類型的圖，如無嚮圖、有嚮圖、加權圖、多重圖等。 連通性（Connectivity）： 探討圖的連通性，包括連通分量（Connected Components）、橋（Bridges）、割點（Cut Vertices）等概念，以及歐拉路徑（Eulerian Paths）和歐拉迴路（Eulerian Circuits）的存在條件。 遍曆（Traversals）： 學習深度優先搜索（DFS）和廣度優先搜索（BFS）等圖的遍曆算法，它們是許多圖算法的基礎。 樹（Trees）： 將樹作為圖的一種特殊且重要的結構進行深入研究，包括樹的性質、生成樹（Spanning Trees）、最小生成樹（Minimum Spanning Trees）的構建算法（如Kruskal算法和Prim算法），以及它們在網絡設計和數據結構中的應用。 圖的著色（Graph Coloring）： 介紹圖的著色問題，如頂點著色、邊著色，以及相關的定理，如四色定理（Four Color Theorem）的背景和意義。 匹配（Matching）： 探索圖的匹配問題，特彆是二分圖的匹配，如霍爾定理（Hall's Marriage Theorem）及其在資源分配等問題中的應用。 代數結構（Algebraic Structures）： 本部分將介紹一些基礎的代數概念，並展示它們在組閤問題中的應用，尤其是在編碼理論和密碼學領域： 群論基礎（Basics of Group Theory）： 介紹群（Group）、子群（Subgroup）、陪集（Coset）、同態（Homomorphism）等基本概念，以及置換群（Permutation Groups）的應用，例如Burnside引理在計數對稱性問題中的作用。 抽象代數在計數中的聯係： 展示代數結構如何為解決一些復雜的計數問題提供更抽象和更強大的框架。 有限域（Finite Fields）： 介紹有限域的基本性質，以及它們在糾錯碼（Error-Correcting Codes）和密碼學中的關鍵作用。 學習目標與方法： 本書旨在培養讀者： 嚴謹的數學思維： 學習如何構建清晰的數學證明，理解數學推理的邏輯性。 解決實際問題的能力： 將抽象的組閤學概念應用於解決計算機科學、運籌學、生物信息學等領域的實際問題。 發現數學之美： 欣賞組閤數學作為一門充滿創造性和 Elegance 的數學分支的魅力。 為瞭達到這些目標，本書采用瞭以下教學方法： 概念先行，例證輔佐： 每個新概念的引入都伴隨著直觀的解釋和具體的例子，幫助讀者建立感性認識。 循序漸進，難度遞增： 章節的安排力求邏輯連貫，習題的難度也從基礎鞏固到綜閤應用，逐步提升讀者的能力。 深入探討，拓展視野： 在介紹基本概念的同時，也適當提及一些前沿的理論和應用方嚮，激發讀者的進一步探索興趣。 豐富的習題集： 每章都配有大量的練習題，包括概念檢驗題、計算題和證明題，以及一些需要綜閤運用所學知識的挑戰題。 誰適閤閱讀本書： 本書適閤所有希望深入理解組閤數學的讀者，包括但不限於： 計算機科學專業的本科生和研究生，為算法設計、數據結構、理論計算機科學打下堅實基礎。 數學專業的學生，作為組閤數學課程的補充教材或自學讀物。 對邏輯推理、抽象思維和問題解決感興趣的任何人士。 需要將組閤學方法應用於工程、統計、經濟學等領域的研究者和從業人員。 通過對本書內容的學習，讀者將能夠熟練運用計數原理解決各種枚舉問題，掌握圖論的基本算法和核心概念，並初步瞭解代數結構在組閤數學中的重要作用。本書將是一扇通往精彩紛呈的組閤數學世界的絕佳門戶。

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這本書簡直是數學愛好者的福音，尤其是對於那些對理論基礎有深入追求的讀者來說。我記得我第一次翻開它的時候，就被它那種清晰而又嚴謹的邏輯結構深深吸引瞭。它不僅僅是簡單地羅列公式和定理，而是真正緻力於構建一個完整的離散數學知識體係。比如，在處理圖論的部分，作者的講解方式極其巧妙，總是能將抽象的概念與實際生活中的問題緊密聯係起來。我尤其欣賞它在組閤數學和邏輯推理方麵的深入探討，這對於我後來學習算法設計和數據結構打下瞭極其堅實的基礎。讀完這部分內容，你會感覺自己仿佛經曆瞭一次思維上的深度淬煉，不再滿足於錶麵的理解，而是渴望挖掘每一個定義的深層含義。它不是一本可以囫圇吞棗的書，需要你投入足夠的時間和精力去消化吸收，但一旦你堅持下來，你會發現你對整個計算機科學的底層邏輯都有瞭全新的認識。那種“茅塞頓開”的感覺，是其他任何教材都難以給予的。

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這本書的體量是相當可觀的，初次接觸可能會被它厚重的篇幅所震懾，但這正是其價值所在。它涵蓋的廣度令人驚嘆，從集閤論的奠基工作到高級的生成函數應用，幾乎囊括瞭離散數學領域所有核心內容。我個人認為，這本書最齣彩的地方在於它對“證明”藝術的細緻闡述。作者似乎非常重視培養讀者的嚴謹性，書中對於每一步推導的邏輯連接都處理得非常到位，很少齣現跳躍性的思維過程，這對於培養嚴密的數學論證習慣至關重要。雖然在某些章節，比如概率論的離散部分，可能需要讀者預先具備一些基礎知識，但即便是這樣，作者也提供瞭足夠的背景迴顧，確保讀者能夠順利跟上。總而言之，這是一部可以伴隨你職業生涯成長的參考書，你每次翻閱都會有新的領悟。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對算法復雜度有濃厚興趣的工程師，我發現這本書在銜接理論與實踐方麵做得非常齣色，盡管它本身是一本理論教材。它的離散結構分析能力，尤其是在討論遞歸關係和不動點理論時，直接為理解動態規劃和分治算法提供瞭堅實的數學框架。我特彆欣賞作者在引入新概念時，總是先給齣一些直觀的動機，然後再進行形式化的定義和推導。這種“動機先行”的教學法，極大地緩解瞭抽象概念帶來的閱讀疲勞。舉個例子，它在講解關係與函數時，對於不同類型關係的性質（如等價關係、偏序關係）的區分和應用場景的描述，清晰到令人贊嘆。這本書沒有故作高深，而是用最精確的語言去描述最復雜的事物，這纔是真正的大師手筆。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺，如同在攀登一座結構宏偉的金字塔，每一步都需要精確的落腳點。它的內容組織極其有條理，從最基礎的邏輯演算開始，層層遞進，構建起一個邏輯嚴密的知識高塔。我尤其欣賞它在介紹代數結構，例如布爾代數時所展現齣的清晰度和深度。很多其他教材對這部分往往一帶而過，但這本書卻將其視為一個重要的理論支柱進行詳盡的剖析。對於那些希望徹底理解計算機底層如何基於邏輯和集閤進行運算的讀者來說，這本書提供瞭不可或缺的洞察力。它的習題設計也是教科書級彆的，很多題目本身就蘊含著重要的數學見解，不僅僅是檢驗你是否掌握瞭知識點，更是引導你進行更高層次的抽象思維。閱讀此書，你會深刻體會到離散數學作為現代科學基石的無可替代的地位。

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說實話，這本書的閱讀體驗是相當“硬核”的，但如果你願意沉下心來，它會帶給你無與倫比的智力迴報。我尤其喜歡它在講解數論和抽象代數基礎時的那種循序漸進，毫不拖泥帶水。它不會為瞭迎閤初學者而犧牲內容的深度，相反，它要求讀者主動去思考、去證明。我記得在學習初等數論那幾章時，我對模運算和費馬小定理的理解達到瞭一個前所未有的高度，這完全歸功於作者提供的那些精妙的例子和挑戰性的習題。這些習題不是簡單的計算，而是對你邏輯思維能力的直接考驗。每次攻剋一個難題，那種成就感都是巨大的。這本書更像是一位嚴厲而又公正的導師，它不會給你標準答案，而是引導你去尋找屬於自己的證明路徑。對於那些準備未來從事理論研究或者對數學美感有極高要求的讀者，這本書無疑是首選的經典之作。

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