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出版者:Springer US

作者:Menezes, Alfred John

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2010-02-19

价格:USD 245.00

装帧:Paperback

isbn号码:9781441951304

丛书系列:

图书标签:

数学
Finite Fields
Coding Theory
Cryptography
Combinatorics
Number Theory
Algebra
Polynomials
Error-Correcting Codes
Information Security
Computer Science

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具体描述

The theory of finite fields, whose origins can be traced back to the works of Gauss and Galois, has played a part in various branches of mathematics, in recent years there has been a resurgence of interest in finite fields, and this is partly due to important applications in coding theory and cryptography. Applications of Finite Fields introduces some of these recent developments. This book focuses attention on some specific recent developments in the theory and applications of finite fields. While the topics selected are treated in some depth, Applications of Finite Fields does not attempt to be encyclopedic. Among the topics studied are different methods of representing the elements of a finite field (including normal bases and optimal normal bases), algorithms for factoring polynomials over finite fields, methods for constructing irreducible polynomials, the discrete logarithm problem and its implications to cryptography, the use of elliptic curves in constructing public key cryptosystems, and the uses of algebraic geometry in constructing good error-correcting codes. This book is developed from a seminar held at the University of Waterloo. The purpose of the seminar was to bridge the knowledge of the participants whose expertise and interests ranged from the purely theoretical to the applied. As a result, this book will be of interest to a wide range of students, researchers and practitioners in the disciplines of computer science, engineering and mathematics. Applications of Finite Fields is an excellent reference and may be used as a text for a course on the subject.

《有限域的应用》一书深入探讨了这一数学分支在现代科技中的多维应用，将理论的严谨性与工程实践的创新性巧妙融合。本书并非泛泛而谈，而是聚焦于有限域理论构建的坚实基石如何支撑起一系列至关重要的技术领域，勾勒出一幅清晰的应用图景。本书的开篇，旨在为读者构建一个扎实的理论框架。我们首先会系统性地回顾和阐述有限域的基本概念，包括其定义、构造方法、代数性质，如子域、扩域、本原元等。重点将放在理解有限域的结构，例如伽罗瓦域（Galois Fields）的特性，以及如何进行域的运算。这一部分是后续深入理解应用的基础，因此我们将力求清晰、详尽，并辅以丰富的例子，帮助读者建立直观的理解。在理论基础奠定之后，本书将笔锋一转，深入探讨有限域在通信与编码理论中的核心作用。这部分内容将占据本书相当大的篇幅，因为有限域是现代通信系统不可或缺的数学工具。我们将详细介绍纠错码（Error-Correcting Codes）的设计原理，重点聚焦于 BCH 码和里德-所罗门码（Reed-Solomon Codes）。对于这些编码方案，本书将不仅阐述其编码和解码的算法，更会深入剖析其背后的有限域代数原理，解释为何它们能够有效地检测和纠正错误，以及其纠错能力的数学极限。我们将探讨纠错码在数据存储（如硬盘、光盘）和无线通信（如蜂窝网络、卫星通信）中的具体应用案例，分析不同编码方案的性能权衡以及在实际系统中的实现挑战。此外，Turbo 码和LDPC 码等现代高性能编码技术，虽然其底层理论更为复杂，但其核心思想也与有限域的构造和性质紧密相关，本书将对其进行介绍，并阐述有限域在理解和优化这些编码结构上的价值。本书的另一重要章节将聚焦于密码学领域。有限域的算术特性为许多现代加密算法提供了安全的基石。我们将详细讲解公钥密码系统的设计，特别是基于离散对数问题（Discrete Logarithm Problem）的加密方案，如 ElGamal 加密。同时，我们也会深入探讨椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC），解释有限域如何被用于定义椭圆曲线上的加法运算，以及ECC在保持安全性的同时如何实现更短的密钥长度，从而在资源受限的环境中（如智能卡、物联网设备）具有显著优势。对于对称密码算法，例如AES（Advanced Encryption Standard），本书将阐述其内部结构中，尤其是 S-盒（S-box）的设计，如何巧妙地利用有限域的非线性特性来增强密码的抗攻击能力。本书还会涉及数字签名、哈希函数等密码学基本构件，以及有限域在其中的作用。除了通信和密码学，本书还将触及有限域在代数几何和计算几何中的一些引人入胜的应用。我们将探讨有限域在构造几何设计（如拉脱维亚平面）中的作用，这些设计在抽样、实验设计以及通信网络路由等方面具有潜在应用。此外，对于有限域上的多项式方程组的求解，其背后也与有限域的代数结构密切相关，这在某些科学计算和优化问题中可能发挥作用。最后，本书的宗旨是提供一个全面且深入的视角，展示有限域理论的强大生命力。我们期望通过本书，读者不仅能掌握有限域的抽象理论，更能深刻理解其如何在现代科技的各个前沿领域发挥着至关重要的作用，激发对这些数学工具在未来技术创新中更多潜力的思考。本书的内容层层递进，逻辑严谨，旨在帮助不同背景的读者，从初学者到专业研究者，都能从中获益。