Function Theory of Several Complex Variables (AMS Chelsea Publishing) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Steven G. Krantz

出品人:

页数:564

译者:

出版时间:2001-01-16

价格:USD 61.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821827246

丛书系列:

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《函数论：多复变函数理论》 内容概述 《函数论：多复变函数理论》是一部深入探索多复变函数理论精髓的著作。本书旨在为读者构建一个坚实而全面的理解框架，涵盖从基础概念到前沿研究的广阔领域。它不仅呈现了多复变函数理论的核心方法和重要结果，更揭示了其内在的深刻联系和丰富的几何直觉。本书适合数学专业本科高年级学生、研究生以及对多复变分析有浓厚兴趣的研究人员阅读。 主要内容与结构 本书的核心内容围绕着多复变函数理论的各个关键分支展开，循序渐进地引导读者进入这一迷人的数学领域。 第一部分：基础理论与复向量空间 在本书的开篇，作者精心构建了多复变函数理论的基石。这一部分着重于介绍复数域 $mathbb{C}$ 的基本性质，并将其自然推广至复向量空间 $mathbb{C}^n$。读者将在此基础上，初步接触到多复变函数的基本概念，例如在 $mathbb{C}^n$ 上的函数，特别是全纯函数（Holomorphic functions）。 复向量空间 $mathbb{C}^n$: 深入探讨 $mathbb{C}^n$ 的代数和拓扑结构。讨论向量加法、标量乘法、内积、范数以及开集、闭集、紧集等拓扑概念在 $mathbb{C}^n$ 中的表现。 多复变函数: 定义并研究在 $mathbb{C}^n$ 的开集上取值的复值函数。重点关注全纯函数的定义，即在每一点都可微（即满足柯西-黎曼方程组的推广）。强调全纯函数所具有的强大解析性质，例如幂级数展开、唯一性定理等。 拓扑与度量: 详细阐述 $mathbb{C}^n$ 上的标准拓扑和度量，以及它们如何影响函数的连续性、可微性和积分。 域与区域: 引入“域”和“区域”等重要概念，它们是定义和研究多复变函数的重要场所。讨论这些集合的连通性、单连通性等性质。 第二部分：复积分与柯西理论 复积分是复分析的核心工具，在多复变领域，柯西理论的推广占据着至关重要的地位。本部分将带领读者深入理解多复变中的复积分，并探索其强大的应用。 多复变曲线积分与面积分: 介绍在 $mathbb{C}^n$ 中的光滑曲线和光滑曲面上的复积分。 柯西积分定理与积分公式: 详细阐述多复变柯西积分定理及其推广。例如，在单连通区域和多连通区域中的柯西定理。重点介绍柯西积分公式在计算多复变函数值、导数以及证明其他重要性质中的作用。 解析延拓: 讨论解析延拓的概念，即如何将一个在局部定义的解析函数延拓到更大的区域。 留数定理: 介绍多复变留数定理及其在计算积分和求解微分方程中的应用。 第三部分：多复变函数方程组与解析性 在多复变理论中，对全纯函数的性质的深入研究是绕不开的主题。本部分将聚焦于多复变函数方程组（例如，柯西-黎曼方程组的推广）的性质，以及由此产生的解析性。 柯西-黎曼方程组的推广: 详细分析多复变柯西-黎曼方程组，并建立其与函数全纯性之间的联系。 全纯函数的性质: 深入研究全纯函数的各项重要性质，包括但不限于： 解析性: 证明全纯函数在区域内可以用幂级数展开，并具有唯一的解析延拓。 强解析性: 探讨全纯函数在强拓扑下的性质。 柯西不等式: 介绍柯西不等式，它在估计全纯函数导数上界方面至关重要。 刘维尔定理: 介绍多复变刘维尔定理，它对有界整函数有深刻的刻画。 最大模原理: 证明全纯函数在闭区域上的最大模原理，以及其推论，如最小值原理。 一致收敛: 探讨全纯函数序列的一致收敛性如何影响极限函数的解析性。 幂级数表示: 详述多复变函数如何通过多层幂级数表示，并探讨其收敛域。 第四部分：多圆盘与多复变凸集 多复变函数理论的一个显著特点是研究对象常常是多维的“区域”或“凸集”。本部分将聚焦于多圆盘和多复变凸集，这是研究多复变函数的重要场所。 多圆盘: 引入多圆盘的概念，即由多个复变量的单圆盘的笛卡尔积构成的集合。讨论多圆盘的几何性质和在其中的全纯函数。 多复变凸集: 详细讨论多复变凸集，例如凸多圆盘、李普希茨凸集等。分析这些集合的性质，以及它们在研究多复变函数中的重要性。 有界域: 讨论有界域的拓扑和几何性质，以及在有界域上的全纯函数。 第五部分：伯恩斯坦-施瓦茨定理与多复变复值积分 这一部分将深入探讨一些更高级的主题，例如伯恩斯坦-施瓦茨定理，它在逼近理论和函数空间的刻画中扮演着重要角色。同时，也会进一步考察多复变复值积分的性质。 伯恩斯坦-施瓦茨定理: 介绍伯恩斯坦-施瓦茨定理，理解它在逼近多项式空间和函数空间的深刻含义。 多复变复值积分: 进一步探索多复变情况下的复值积分，包括其性质、计算方法以及在证明定理中的应用。 第六部分：多复变函数论中的分析工具 为了深入理解多复变函数理论，需要掌握一系列强大的分析工具。本部分将介绍这些关键的分析方法。 拉普拉斯方程与调和函数: 讨论多复变调和函数，它们是实调和函数在复数域上的推广，与全纯函数的实部和虚部密切相关。 Dirichlet问题: 介绍在多复变区域上的Dirichlet问题，以及如何利用调和函数和Green函数来求解。 Green函数: 讨论Green函数的概念及其在解偏微分方程和研究区域性质中的作用。 De Rham上同调: 介绍De Rham上同调的基本思想，它为理解微分形式和积分提供了更抽象的框架。 第七部分：多复变函数的几何理论 多复变函数论不仅仅是代数的操纵，更是深刻的几何直觉的体现。本部分将从几何角度来理解多复变函数。 复流形: 介绍复流形的基本概念，它是在局部具有复结构的空间，是多复变函数理论的自然研究对象。 函数空间: 讨论各种重要的函数空间，例如Hardy空间、Sobolev空间等，以及它们在多复变函数理论中的应用。 全纯映射: 研究全纯映射的几何性质，例如它们的局部双全纯性、奇点等。 第八部分：现代研究方向 本书的最后部分将触及多复变函数论的一些现代研究方向，为读者指明进一步深入学习的路径。 无界域上的函数: 探讨在无界域上的多复变函数性质，这比有界域更为复杂。 多复变函数方程组的理论: 介绍解多复变函数方程组的最新进展，例如$ar{partial}$-方程的求解。 复几何: 讨论多复变函数论与复几何的交叉领域，例如Kähler流形、复代数几何等。 本书的特点 《函数论：多复变函数理论》以其严谨的逻辑、清晰的讲解和丰富的例证，成为多复变函数理论领域的经典之作。本书的主要特点包括： 系统性: 从基础概念出发，逐步深入到复杂的主题，构建了一个完整的知识体系。 深入性: 对每个概念和定理都进行了深入的剖析，力求让读者理解其本质和内在逻辑。 严谨性: 数学证明一丝不苟，逻辑链条完整清晰。 启发性: 穿插了大量的例子和思考题，引导读者主动探索和发现。 历史性: 在适当的地方会提及一些重要的历史背景和发展脉络，帮助读者更好地理解理论的演进。 适用读者 本书是为那些希望深入理解多复变函数理论的读者量身定制的。理想的读者群体包括： 数学专业本科高年级学生: 为接触更高级的复分析课程打下坚实基础。 研究生: 深入学习多复变分析，为撰写论文和从事研究工作做好准备。 研究人员: 无论是在纯粹数学领域还是在应用数学领域（如偏微分方程、微分几何、复几何、数学物理等），需要掌握多复变函数理论的研究者。 《函数论：多复变函数理论》将为读者开启一扇通往多复变函数世界的大门，提供探索其中奥秘的必备工具和理论框架。

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经过一段时间的深入学习，我越来越体会到这本书在处理“例外情况”和“边界条件”时的细致程度。在复分析中，处理非凸区域、奇异点邻域的行为，往往是区分新手和熟练者的分水岭。这本书对于这些“棘手”问题的处理，展现出一种近乎偏执的严谨。每一个定理的适用范围、每一个推论成立的必要前提，都被标注得清清楚楚，没有丝毫含糊其辞。比如在讲解波莱尔拉普拉斯积分表示式时，它对收敛域边缘点的讨论细致入微，确保了读者在应用这些工具时，不会因为疏忽边界条件而得出错误结论。这种对细节的关注，是经典教材区别于普通参考书的关键所在。它不仅教会你如何“做题”，更教会你如何“思考一个严谨的数学家会如何思考”——即在所有可能出错的地方，都预先设置好防线。这对于任何志在深入研究解析数论或代数几何的人来说，都是不可或缺的素养训练。

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这本书的封面设计简直是极简主义的典范，纯白背景上印着醒目的黑色书名，给人一种沉静而庄重的学术气息。我拿到手的时候，首先注意到的是它的纸张质量，触感扎实，油墨印刷清晰锐利，这对于需要反复查阅和做笔记的数学书籍来说，无疑是一个巨大的加分项。装帧结实，显然是按照能经受住图书馆多次借阅的强度来制作的。虽然内容本身是关于复变量函数论的，但初翻这本书的目录，就能感受到作者试图构建一个非常系统和严谨的知识框架。它似乎不是那种只关注某个特定前沿领域的“新锐之作”，而更像是一部奠基性的教科书，旨在为读者打下坚实的基础。我特别欣赏它在章节安排上的逻辑推进，从基础的微积分概念过渡到多变量的柯西积分定理，每一步的衔接都显得水到渠成，对于自学者而言，这种循序渐进的引导至关重要。这种扎实的物理呈现和严密的内在结构，让人立刻相信这是一部可以信赖的、值得投入时间的深度学习资料。书本的排版也相当舒适，页边距留得适中，方便在空白处写下自己的理解和疑问。

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在我看来，一本优秀的数学书籍不仅要讲清“是什么”，还要体现出“为什么重要”。这本书在讨论诸如厄米特矩阵、霍奇理论的萌芽等话题时，虽然篇幅可能没有专门的拓扑学或微分几何书籍那么大，但它非常精准地勾勒出了复分析与其他数学分支，尤其是几何和代数领域之间那些微妙而深刻的联系。它没有把复变量函数论孤立地看待，而是将其置于一个更广阔的数学图景之中。例如，在引入特定区域上的积分表示法时，作者会时不时地穿插一些历史背景，简要介绍某个定理是如何在解决特定几何难题中扮演了关键角色。这些“花絮”虽然不影响核心证明的严谨性，却极大地提升了阅读的趣味性和认知的层次感。它让你意识到，这些抽象的公式和概念，背后驱动着数学家们去探索空间结构和解析性质的本质，而不是为了公式本身而公式。

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这本书的习题设计水平，体现了它作为一部经典教材的深度。我发现那些练习题并非是简单的概念验证型题目，它们更像是对所学理论的进一步应用和拓展。有些习题本身就构成了一个小型的、独立的论证，如果你能独立完成它们，就相当于又学习了若干个小的定理。特别是那些需要结合不同章节知识点才能攻克的综合题，它们真正考验了读者对整个复变函数理论体系的掌握程度。而且，我注意到书中提供的部分解答或提示非常巧妙，它们不会直接告诉你答案，而是引导你从一个全新的角度去审视问题，这种启发式的设计非常棒。对于那些希望深入研究复分析的博士生或研究人员来说，这些习题集简直是宝藏，它们是检验自己是否真正掌握了黎曼流形、多函数域等复杂概念的试金石。很多时候，解题的过程比阅读正文本身更能加深对理论的理解，而这套习题正是这样做的。

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初读任何一本高等数学专著，最令人头疼的往往是那些晦涩难懂的定义和过于抽象的符号系统，但这本书在开篇部分的处理方式却令人耳目一新。它似乎用了相当大的篇幅来“铺垫”，而不是急于抛出那些高深的定理。我记得在介绍多重指数和多重导数这些基础概念时，作者非常耐心地用了很多篇幅来解释为什么需要从一维的情景自然地推广到高维，每一步的动机都解释得非常透彻，仿佛旁边有一位和蔼的导师在耳提面命。这种细致入微的讲解，极大地缓解了初学者面对高深理论时的畏惧感。此外，书中对一些关键引理的证明过程，往往会先给出直觉性的几何或分析图像解释，然后再进行严格的代数推导，这种“先说是什么，再说为什么”的叙事节奏，让知识的吸收变得更加平滑。与其他一些只列出定理和证明而缺乏背景介绍的参考书相比，这本书在“教学法”上展现出了更高的水准，它真正关心读者是否能够理解背后的数学思想，而不是仅仅复制粘贴证明过程。

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