Linear Systems and Exponential Dichotomy Structure of Sets of Hyperbolic Points pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Zhensheng Lin

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:2000-6

价格:USD 69.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789810242831

丛书系列:

图书标签:

线性系统
指数二分性
双曲点
动力系统
常微分方程
拓扑动力学
稳定性
李雅普诺夫指数
函数空间
算子理论

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具体描述

Historically, the theory of stability is based on linear differential systems, which are simple and important systems in ordinary differential equations. The research on differential equations and on the theory of stability will, to a certain extent, be influenced by the research on linear differential systems. For differential linear equation systems, there are still many historical open questions attracting mathematicians. This text deals with the theory of linear differential systems developed around the notion of exponential dichotomies. The first author advanced the theory of stability through his research in this field. Several important results on linear differential systems are presented. They concern exponential dichotomy and the structure of the sets of hyperbolic points. The book contains five chapters. Chapter One introduces some necessary classical results on the linear differential systems, and the following chapters discuss exponential dichotomy, spectra of almost periodic linear systems, the Floquet theory for quasi periodic linear systems and the structure of sets of hyperbolic points. The book should be useful as a reference in the area of the stability theory of ordinary differential equations and the theory of dynamic systems.

线性系统与双曲点集结构本书深入探讨了线性动态系统的结构特性，特别关注了双曲点的概念及其在理解系统整体行为中所扮演的关键角色。我们首先从基础的线性常微分方程组出发，详细阐述了特征值、特征向量与系统解的稳定性之间的深刻联系。在此基础上，本书引入了双曲性的核心概念——平衡点处的特征值具有非零实部。这一性质使得系统的局部动态行为表现出清晰的分离性：沿着某些方向，解会趋向平衡点；而沿着另一些方向，解则会远离平衡点。本书的前半部分系统地梳理了线性系统解的几何和代数性质。我们详细分析了不同情况下特征值的分布，如实部全正、全负、以及正负混合等，并将其与系统的全局稳定性（渐近稳定、不稳定、以及临界稳定）联系起来。对于实对称矩阵和一般方阵，我们分别讨论了特征值的性质，以及由此导出的线性系统的稳定性判据。此外，本书还将介绍如何通过坐标变换将线性系统化为标准形式，从而更直观地理解其动态特性，例如对角化和约旦标准形。本书的核心章节将聚焦于“双曲点集”的结构。双曲性不仅是判断平衡点局部稳定性的一个重要条件，更是理解更复杂动力系统中不变流形（stable manifold 和 unstable manifold）概念的基石。对于线性系统，双曲平衡点处的稳定流形和不稳定流形是子空间，它们的维度由具有负实部和正实部特征值的数量决定。本书将详尽地计算和描述这些流形，并展示它们如何在相空间中“包裹”住系统的其他轨道。我们将从理论层面深入分析双曲性的数学构造。对于一个给定的线性系统 $dot{x} = Ax$，其中 $A$ 是一个 $n imes n$ 的常数矩阵，如果矩阵 $A$ 的所有特征值都具有非零实部，则该系统在该平衡点（零点）处是双曲的。本书将详细证明，在双曲平衡点附近，线性系统的解的局部行为可以被其稳定流形和不稳定流形所精确地描述。稳定流形上的点会随着时间趋向平衡点，而不稳定流形上的点则会远离平衡点。本书的另一重要方面是探讨双曲点集在描述和理解更一般动态系统（非线性系统）中的作用。虽然本书主要关注线性系统，但其核心概念——双曲性——是理解非线性系统局部行为的强大工具。通过研究线性系统的双曲性，我们可以为理解非线性系统在平衡点附近的线性化行为以及双曲平衡点周围的局部不变流形的存在性和性质打下坚实的理论基础。例如， Hartman-Grobman 定理表明，在非双曲平衡点附近，非线性系统的局部相图可以与其线性化系统相共轭，这强调了线性化分析的重要性。而对于双曲平衡点，局部不变流形定理（Local Stable and Unstable Manifold Theorems）则为我们提供了在非线性系统中构造和理解稳定流形和不稳定流形的理论保证，这些流形构成了双曲结构的核心。本书还将涉及双曲性在数值计算和稳定性分析中的实际应用。例如，理解双曲性有助于设计数值算法来逼近系统的流形，以及评估数值模拟结果的可靠性。在控制理论中，双曲性的概念对于设计能够导向期望状态的控制律至关重要。本书的目标读者包括对动力系统、微分方程、控制理论以及相关数学领域感兴趣的本科生、研究生以及研究人员。通过本书的学习，读者将能够深刻理解线性系统的结构特性，掌握双曲性这一核心概念，并为其进一步研究更复杂的动力系统奠定坚实的理论基础。本书力求在数学严谨性和概念清晰度之间取得平衡，通过丰富的例子和清晰的论证，帮助读者掌握这些重要的理论工具。