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出版者:Betascript Publishing

作者:Surhone, Lambert M.; Timpledon, Miriam T.; Marseken, Susan F.

出品人:

页数:108

译者:

出版时间:2010-01-26

价格:USD 55.00

装帧:Paperback

isbn号码:9786130301941

丛书系列:

图书标签:

• 集合论
• 数学
• 逻辑
• 公理化集合论
• ZFC
• 模型论
• 递归论
• 数学基础
• 集合
• 数学哲学

探索无限可能：集合论的优雅与力量 集合论，作为现代数学的基石，以其严谨的逻辑和深刻的洞察力，为我们揭示了数学世界的丰富结构和无限可能性。它不仅仅是关于“集合”这一概念的抽象研究，更是理解数字、函数、空间乃至整个数学体系的钥匙。本书旨在深入浅出地介绍集合论的核心思想、基本工具和重要应用，带领读者领略其优雅的魅力，感受其强大的力量。 什么是集合？ 最直观地理解，集合就是由一组“事物”组成的整体。这些“事物”，我们称之为“元素”，可以是具体的数字、字母，也可以是抽象的概念，甚至可以是其他集合。例如，{1, 2, 3} 是一个包含三个数字的集合；{a, b, c} 是一个包含三个字母的集合；而 {{1, 2}, {3}} 是一个包含两个集合的集合。集合的特点在于其成员的唯一性（不关心重复）以及不关心顺序。{1, 2, 3} 和 {3, 1, 2} 是同一个集合。 集合论的语言与符号 为了精确地描述集合及其关系，数学家们发展了一套简洁而强大的符号系统。我们将学习如何使用这些符号来表达集合的包含关系（例如，x ∈ A 表示元素 x 属于集合 A）、子集关系（例如，A ⊆ B 表示集合 A 是集合 B 的子集）、空集（∅，不包含任何元素的集合）等基本概念。 集合的基本运算 集合论提供了丰富的工具来处理和组合集合，这些工具构成了集合论的基本运算。我们将重点介绍： 并集 (Union): A ∪ B 包含了所有属于集合 A 或集合 B 的元素。就像把两个袋子的东西全部倒在一起。 交集 (Intersection): A ∩ B 包含了同时属于集合 A 和集合 B 的元素。这是两个袋子里共同有的东西。 差集 (Difference): A B 包含了所有属于集合 A 但不属于集合 B 的元素。这是从 A 袋子里拿出与 B 袋子里重复的部分后剩下的。 补集 (Complement): 在一个给定的全集 U 中，A 的补集 A'（或 Aᶜ）包含了所有不属于集合 A 的元素。可以理解为在整个大环境里，不属于 A 的那部分。 笛卡尔积 (Cartesian Product): A × B 包含了所有可能的有序对 (a, b)，其中 a ∈ A 且 b ∈ B。这为我们理解多维空间和关系提供了基础。 无限的奥秘：基数理论 集合论最令人惊叹的成就之一便是它对“无限”的处理。康托尔的基数理论彻底改变了我们对无限的理解。我们将会探讨： 可数无限 (Countable Infinity): 像自然数集 {1, 2, 3, ...} 这样，尽管无限，但我们可以一一对应地排列它们。我们将学习到，有理数集也是可数无限的。 不可数无限 (Uncountable Infinity): 像实数集这样，我们发现存在着比自然数“更大”的无限。康托尔证明了实数的无限是不可数的，这标志着一个深刻的数学发现。 集合的基数 (Cardinality): 基数是衡量集合“大小”的度量，即使是无限集合，我们也可以比较它们的基数。通过研究基数，我们可以区分不同“等级”的无限。 公理化集合论：严谨的基石 为了避免逻辑上的矛盾（例如罗素悖论），数学家们发展了公理化的集合论。我们将初步了解 Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF) 及其包含选择公理的版本 (ZFC)，这是现代数学的标准基础。这些公理为集合的构造和性质提供了一个坚实的逻辑框架。 集合论的应用 集合论的应用极其广泛，它渗透到数学的各个分支： 逻辑学: 集合论是形式逻辑的基础，为我们理解命题、量词和推理提供了模型。 计算机科学: 集合论的概念在数据库理论、算法设计、形式语言和自动机理论中无处不在。例如，关系型数据库中的表本质上就是集合。 拓扑学: 集合论的开集、闭集等概念是拓扑空间的定义所必需的。 函数论: 函数可以被看作是输入与输出的有序对组成的集合。 概率论: 事件可以被建模为样本空间中的集合。 学习集合论的意义 学习集合论不仅仅是为了掌握一套数学工具，更是为了培养严谨的逻辑思维能力，提升抽象思维的水平，并培养对数学深刻本质的理解。它教会我们如何清晰地定义概念，如何进行严格的证明，以及如何从看似简单的对象中挖掘出丰富的结构和深刻的真理。 本书将以清晰的解释、典型的例子和适度的习题，引导读者循序渐进地掌握集合论的核心内容。无论您是初学者，还是希望巩固数学基础的学生，或是对数学思想充满好奇的研究者，本书都将为您打开一扇通往数学世界更深层理解的大门，让您领略集合论的优雅之美和无限力量。

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