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出版者:Springer

作者:Pach, Janos 编

出品人:

页数:853

译者:

出版时间:2003-08-13

价格:USD 199.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540003717

丛书系列:

图书标签:

• 计算几何
• 离散几何
• 几何算法
• 计算机图形学
• 算法设计
• 数据结构
• 几何建模
• 计算几何学
• 离散数学
• 理论计算机科学

《数学世界的探索之旅》 本书带领读者踏上一段引人入胜的数学探索之旅，触及数学的众多分支，从抽象的理论到具体的应用，展现了数学的广阔图景和无穷魅力。我们不会深入探讨离散和计算几何的特定领域，而是着眼于构建一个更全面的数学知识框架，帮助读者理解数学的本质、发展脉络及其在现代世界中的重要作用。 第一部分：数学的基石——逻辑与集合 旅程始于数学的根基：逻辑和集合论。我们将探讨形式逻辑的规则，理解命题、谓词以及推理的构建方式。这部分内容将帮助你清晰地表达数学思想，并对证明的严谨性有一个初步的认识。接着，我们将深入集合论的世界，学习集合的运算，如并集、交集和差集，理解集合之间的关系，如包含与相等。我们将触及一些基本的集合概念，例如基数，它衡量了集合的大小，并为理解更复杂的数学结构奠定基础。这部分内容将为你日后接触任何数学领域打下坚实的逻辑和概念基础。 第二部分：代数的语言——数、方程与结构 代数是描述数量关系和结构的核心工具。我们将从最基本的自然数、整数、有理数和实数出发，探讨它们的性质、运算规则以及它们之间的联系。随后，我们将进入方程的世界，学习如何求解线性方程、二次方程以及更一般的代数方程，理解变量的意义以及方程在解决实际问题中的应用。更进一步，我们将介绍多项式、函数等概念，它们是描述变化和关系的强大工具。我们还将初步涉足群、环、域等抽象代数结构，了解数学家们如何通过抽象化的手段发现更深层次的数学规律，并展示这些抽象概念如何渗透到密码学、编码理论等现代技术领域。 第三部分：空间的几何——图形、度量与变换 几何学是研究空间形状、大小、位置和关系的学科。我们将从欧几里得几何的经典定理出发，回顾点、线、面、角等基本概念，理解三角形、四边形、圆等基本图形的性质。我们将学习如何计算面积、体积，如何测量距离和角度，以及如何进行相似、全等变换。本书还将简要介绍非欧几里得几何，如球面几何和双曲几何，让读者领略到空间概念的丰富性和多样性。我们将通过具体的例子，展示几何学在建筑、工程、计算机图形学等领域的广泛应用。 第四部分：变化的描绘——微积分入门 微积分是研究变化率和累积效应的数学工具，是现代科学技术不可或缺的一部分。我们将从极限的概念入手，理解函数在趋近某个值时所表现出的行为。接着，我们将介绍导数，它描述了函数的变化率，并学习如何求解导数，理解它在优化问题、速度计算等方面的应用。然后，我们将探讨积分，它用于计算函数的累积量，例如面积、体积等。我们将展示微积分如何帮助我们理解速度与位移、力与功等物理概念，并为更高级的数学分析和建模打下基础。 第五部分：离散的魅力——计数、图与结构 本部分将带你领略离散数学的独特风采，它关注的是不可分割的、独立的元素及其关系。我们将从组合数学开始，学习计数原理，如加法原理和乘法原理，以及排列、组合等概念，这些工具在概率论、计算机科学等领域至关重要。接着，我们将深入图论的世界，理解图的定义、节点、边等基本元素，以及各种常见的图结构，如树、连通图、二分图等。我们将探讨图的遍历算法、最短路径问题等，并展示图论在网络分析、数据挖掘、社交媒体建模等方面的强大能力。此外，我们还将触及一些有限数学的概念，如模运算，以及它们在密码学和算法设计中的作用。 第六部分：算法的思想——计算与效率 计算机科学的基石是算法，即解决问题的步骤和规则。我们将探讨算法设计的思想，学习如何将复杂问题分解为更小的、可管理的子问题。我们将介绍一些基本的算法设计技术，如分治法、动态规划、贪心算法等。同时，我们将关注算法的效率，学习如何分析算法的时间复杂度和空间复杂度，并理解“P vs NP”问题的基本含义，探讨计算的可行性边界。我们将通过实际的例子，展示算法在排序、搜索、数据结构等方面的应用，以及它们在解决现实世界问题中的重要性。 第七部分：概率的推理——不确定性与统计 在充满不确定性的世界里，概率论和统计学为我们提供了理解和应对的方法。我们将从概率的基本概念入手，学习事件、样本空间、概率分布等。我们将探讨随机变量，理解离散型和连续型随机变量的性质，并介绍一些重要的概率分布，如二项分布、正态分布等。接着，我们将进入统计学的领域，学习如何收集、整理、分析数据，如何进行描述性统计和推断性统计。我们将介绍假设检验、置信区间等概念，帮助你理解数据的含义，并从样本中做出关于总体的合理推断。我们将展示概率和统计在金融、医学、社会科学等各个领域的广泛应用。 结语：数学的未来与你的探索 通过对这些不同领域数学知识的初步探索，我们希望激发你对数学的进一步兴趣。数学是一个不断发展和演进的学科，新的思想和技术层出不穷。从古老的几何学到现代的计算科学，数学始终是理解世界、解决问题、推动创新的强大力量。我们鼓励你在阅读本书后，能够带着更广阔的视野，继续深入探索那些让你心动的数学领域，去发现属于你自己的数学宝藏。数学的旅程是无止境的，而你的探索才刚刚开始。

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这本书的封面设计着实引人注目，那种深邃的蓝色调配合着银灰色的字体，透着一股沉稳而又神秘的气息，让人一上手就感觉里面蕴含着不寻常的知识。我最初被它吸引，是冲着“离散”和“计算”这两个关键词去的，心里期待着能找到一些关于现代算法和复杂性理论的深度探讨。翻开目录，我对其中关于图论和拓扑结构交叉部分的章节产生了浓厚的兴趣，比如“嵌入式图的性质”和“高维空间的组合结构分析”。然而，深入阅读后我发现，这本书的侧重点似乎更偏向于那些非常纯粹的、偏理论的数学构造，而不是我预想中那种能直接应用于优化问题的计算方法论。那些关于“凸包的精确表示”和“点集势能函数的研究”的章节，虽然数学推导非常严谨，但对我这个更关注实际应用和编程实现的读者来说，显得有些过于抽象和艰深。我花了大量时间试图将书中的概念与我熟悉的计算机图形学或机器学习中的几何问题联系起来，但总感觉隔着一层厚厚的理论壁垒，期待的那些实战性的案例或算法实现细节，几乎难以寻觅，这让我有些失落。它更像是一部需要反复咀嚼的学术专著，而不是一本可以快速查阅参考的工具书。

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我必须承认，这本书在某些特定领域的深度是毋庸置疑的，尤其是在处理那些涉及高阶多面体和复杂曲面的代数拓扑性质时，它展现出的严密性和完备性令人敬佩。例如，它对“球形镶嵌的可行性条件”的论证，逻辑链条一气呵成，没有一丝松懈，这体现了作者扎实的数理功底。然而，这种极致的深度却以牺牲实用性为代价。我原本对“网格简化算法”的最新进展抱有很大期望，希望能看到关于度量保持和拓扑保护的最新研究成果。结果，书中对这方面的讨论只是一笔带过，仿佛这些都是“不值得深入研究的工程问题”。书中花了大篇幅讨论的那些关于“黎曼流形上的测地线问题”的理论极限，虽然在纯数学上具有美感，但对于一个渴望了解如何高效处理现实世界三维扫描数据的工程师来说，这些内容显得有些“云深不知处”。如果能增加一些关于数值稳定性和计算复杂度的讨论，这本书的实用价值会大大提升，可惜它选择了站在纯理论的象牙塔上俯瞰一切。

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这本书的叙述风格，坦白说，非常具有“学院派”的冷峻感。作者似乎完全没有考虑读者的接受难度，每一个定义、每一个定理的引入都如同冰冷的几何公理般直接抛出，缺乏必要的铺垫和直观的图示来辅助理解。我特别对其中关于“持续同调群”的介绍感到困惑，那部分文字描述得极其拗口，仿佛在试图用最少的笔墨概括最复杂的数学结构。我尝试去寻找一些历史背景或者与其他数学分支的类比说明，希望能帮助我更好地消化这些新概念，但通篇下来，这种“只讲事实，不讲故事”的写作方式，让阅读过程变成了一种对耐力的考验。例如，书中对“平面划分的对偶结构”的阐述，如果能配上几张清晰的动态演化图示，效果一定会好很多。现在我只能依靠自己脑海中的想象力来重构这些几何对象的空间关系，这无疑大大降低了学习效率。对于初学者或者希望快速入门的读者而言，这本书的门槛设置得实在太高了，它更像是写给已经对这领域有深厚背景的同行们看的内部讨论稿。

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这本书的装帧设计虽然典雅，但印刷质量却略显粗糙。这在阅读体验上造成了不小的困扰，尤其是那些涉及到大量数学符号和复杂公式排版的部分。字体边缘偶尔会出现轻微的模糊，这使得我在区分某些上下标或者希腊字母时需要格外小心，生怕看错了一个细节导致整个公式的理解偏差。更令人费解的是，书中的图表部分，很多关键的插图分辨率偏低，线条不够锐利，这对于理解空间几何的细节至关重要。特别是关于“Delaunay三角剖分”的例子，本该清晰展示出最小外接圆性质的图像，却显得模糊不清，使得我不得不去网络上搜索其他来源的清晰图例来辅助理解。对于一本定价不菲的专业书籍而言，这种在基础制作工艺上的疏忽是很难让人接受的。它仿佛在传达一个信息：内容比载体更重要，但对读者而言，清晰可靠的载体是理解内容的基石。

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这本书的章节结构虽然大致遵循了从基础到深入的逻辑，但内部的衔接略显跳跃。有时候，前一节还在讨论非常基础的集合论基础，紧接着下一节就突然进入了高度专业化的“范畴论在几何中的应用”，中间缺乏一个平滑的过渡段来解释这种范畴上的抽象如何具体地映射到我们关心的空间问题上。这种突兀的跨越，使得读者的认知负荷陡增，仿佛在攀登一座突然出现陡壁的峭壁。此外，全书的习题部分也极度缺乏指导性。那些练习题多半是直接要求证明书中的一个高度复杂的定理的变体，或者要求读者自行构造一个满足特定拓扑约束的例子。这些习题更像是对作者个人研究方向的延伸，而不是为了巩固读者对核心概念的理解。我更希望看到一些引导性的、逐步深入的小问题，帮助我建立起从基础概念到高级结论的思维路径，而不是直接面对一座座难以逾越的高山。整体而言，它更适合作为一份深度参考资料，而不是一本用来系统学习和自我检验的教材。

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