Rings and Factorization pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:David Sharpe

出品人:

页数:124

译者:

出版时间:1987-08-28

价格:USD 30.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521337182

丛书系列:

图书标签:

环论
代数数论
因子分解
整数论
抽象代数
算术
多项式环
理想论
交换代数
数域

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具体描述

This textbook is an introduction to the concept of factorization and its application to problems in algebra and number theory. With the minimum of prerequisites, the reader is introduced to the notion of rings, fields, prime elements and unique factorization. The author shows how concepts can be applied to a variety of examples such as factorizing polynomials, finding determinants of matrices and Fermat's 'two-squares theorem'. Based on an undergraduate course given at the University of Sheffield, Dr Sharpe has included numerous examples which demonstrate how frequently these ideas are useful in concrete, rather than abstract, settings. The book also contains many exercises of varying degrees of difficulty together with hints and solutions. Second and third year undergraduates will find this a readable and enjoyable account of a subject lying at the heart of much of mathematics.

《环与因子分解》—— 探索代数核心的奥秘本书将带领读者深入代数的一个核心分支——环论及其在因子分解问题上的应用。我们不仅仅满足于介绍抽象的理论，更着重于揭示其内在联系与实际意义，为读者构建起一个严谨而直观的代数世界。第一部分：环的基石在本书的开篇，我们将建立扎实的环论基础。从最基础的定义出发，清晰地阐释什么是环，以及各种常见的环结构，如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 为域）、矩阵环等。我们将详细探讨环的运算性质，如加法、乘法，以及诸如交换性、结合性、分配律等基本公理。更进一步，我们将介绍环的子结构，例如子环和理想。理想的概念在环论中扮演着至关重要的角色，它构成了环的“结构单元”，通过研究理想，我们可以深入了解环的性质，并为后续的因子分解理论奠定基础。本书将详述左理想、右理想和双边理想的区别与联系，并重点介绍一些重要的理想类型，如主理想、零化子、素理想和极大理想。这些概念的理解是掌握因子分解的关键。我们还将引入同态和同构的概念，这是理解不同代数结构之间联系的有力工具。通过环同态，我们可以将一个环的结构映射到另一个环，从而发现结构上的相似性甚至同一性。同构则意味着两个环在代数结构上是完全相同的，只是符号表示不同。第二部分：因子分解的艺术掌握了环的基础后，我们将转向本书的核心——因子分解。因子分解是数论和代数中一个古老而又充满活力的课题。本书将从整数的唯一因子分解定理出发，逐步推广到更一般的环。我们将详细介绍整环（integral domain）的概念，这是因子分解理论适用的重要前提。在整环中，如果两个非零元素的乘积为零，那么其中至少有一个必须为零，这保证了因子分解的“无零因子”特性。接着，本书将深入探讨各种重要的因子分解类型：主理想整环 (PID)：在主理想整环中，每一个理想都是由单个元素生成的。我们将证明，在主理想整环中，每一个非零非单位元素都可以唯一地分解为有限个不可约元素的乘积。整数环 $mathbb{Z}$ 是一个典型的PID。唯一因子分解整环 (UFD)：这是因子分解理论最广泛适用的框架。在UFD中，每一个非零非单位元素都可以唯一地分解为有限个不可约元素的乘积，并且分解的顺序和因子的单位倍数是不考虑的。我们将探讨如何识别一个整环是否为UFD，并证明PID一定是UFD。欧几里得整环 (Euclidean Domain)：欧几里得整环是在PID基础上更进一步的概念，它存在一个“欧几里得函数”，允许我们进行类似欧几里得算法的除法运算。所有欧几里得整环都是PID，进而也是UFD。本书将提供计算和证明的详细方法。我们将通过大量的例子来阐释这些概念。例如，我们将分析高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和多项式环 $F[x]$ 的因子分解性质，并证明它们分别是PID和UFD。我们将探讨不可约元素和素元素在不同环结构中的关系，以及它们在因子分解中的作用。第三部分：应用与延伸为了展现因子分解理论的强大威力，本书还将触及一些重要的应用和相关的延伸概念：模 (Modules)：我们将简要介绍模的概念，它是环的一种广义化。对于特定类型的环（如PID），其模的结构与因子分解有着密切的联系，例如有限生成模的结构定理。代数数论：因子分解问题在代数数论中扮演着核心角色。我们将介绍代数整数环的概念，并讨论其因子分解性质与数论中的许多重要问题（如二次互反律）之间的联系。其他类型的环：除了上述核心概念，本书还会适时介绍一些其他有特色的环结构，例如诺特环、阿廷环等，并简要提及它们在因子分解研究中的地位，以及更广泛的代数几何等领域的应用。本书的写作风格力求严谨而清晰，同时注重启发性。每章都会包含例题和习题，帮助读者巩固所学知识，并通过思考拓展思路。我们相信，通过对《环与因子分解》的深入学习，读者将能够深刻理解代数运算的内在规律，掌握分析代数结构的关键工具，并为进一步探索更广阔的数学领域打下坚实的基础。这本书不仅是数学专业学生的宝贵参考，也是任何对抽象代数和数论怀有浓厚兴趣的读者的理想选择。