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出版者:

作者:Greenes, Carole/ Larson, Matt/ Leiva, Miriam A., Dr./ Shaw, Jean M., Dr./ Stiff, Lee

出品人:

頁數:336

译者:

出版時間:2003-6

價格:$ 51.30

裝幀:

isbn號碼:9780618277179

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 小學數學
• 教材
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• 基礎數學
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• 美國小學數學
• 教育
• 學習資料

《幾何學的奧秘：從歐幾裏得到非歐空間》 一部深入探索幾何學演變及其在現代科學中應用的權威著作 書籍簡介： 《幾何學的奧秘：從歐幾裏得到非歐空間》並非一本傳統的教科書，它是一部宏偉的敘事詩，帶領讀者穿越時空，親曆人類對空間、形狀和度量衡理解的波瀾壯闊的演變曆程。本書旨在揭示幾何學這一古老學科是如何從最初的土地測量工具，一步步蛻變為現代物理學、宇宙學乃至計算機科學的基石的。我們聚焦於那些定義瞭人類思維範式的關鍵概念、那些引領瞭科學革命的偉大頭腦，以及那些看似抽象的數學結構如何深刻地塑造瞭我們對現實世界的認知。 本書的結構遵循著曆史的脈絡與邏輯的遞進，共分為六大部分，詳盡地闡述瞭從古典幾何的輝煌到現代幾何的廣闊圖景。 --- 第一部分：歐幾裏得的遺産——公理體係的建立與危機 本部分首先聚焦於古希臘文明的智慧結晶——歐幾裏得的《幾何原本》。我們將詳細剖析《原本》如何通過五條公設和五條公理構建起一個嚴密、自洽的演繹係統。這不是對教科書例題的簡單迴顧，而是對“公理化方法”這一思維範式的深度解析。我們探討瞭歐幾裏得幾何如何成為西方理性思維的典範，及其在文藝復興時期對科學方法的深遠影響。 然而，幾何學的偉大之處在於其自身的挑戰與超越。本部分最重要的篇幅將集中於幾何學史上最著名的“頑疾”——第五公設（平行綫公設）。我們將追溯數韆年來無數數學傢試圖證明或推導齣這條公設的嘗試，這種堅持與睏惑，體現瞭人類對邏輯一緻性近乎偏執的追求。我們不僅描述瞭這些嘗試，更深入分析瞭這些失敗是如何孕育齣劃時代的思想突破的。 第二部分：解析幾何的革命——空間的可計算性 從純粹的邏輯演繹，到與代數的結閤，解析幾何的誕生標誌著空間概念的一次巨大飛躍。本章詳細探討瞭笛卡爾（René Descartes）和費馬（Pierre de Fermat）如何通過引入坐標係，將幾何問題轉化為代數方程，從而實現對形狀和運動的精確“計算”。 我們著重分析瞭麯綫的代數描述如何使得對運動的描述成為可能，這直接催生瞭微積分的發展。本書將解析幾何視為連接“形”（Form）與“數”（Number）的橋梁，闡釋瞭如何利用代數工具來研究圓錐麯綫（橢圓、拋物綫、雙麯綫）的性質，及其在光學和天文學中的實際應用，例如開普勒定律的幾何解釋。 第三部分：非歐幾何的黎明——對絕對空間的顛覆 這是全書最具顛覆性的部分。在詳盡梳理瞭試圖證明第五公設的失敗嘗試後，本書將筆鋒轉嚮瞭那些敢於“放棄”歐幾裏得權威的先驅者。 我們將詳細介紹羅巴切夫斯基（Lobachevsky）和鮑耶伊（Bolyai）獨立構建的雙麯幾何，以及黎曼（Riemann）提齣的橢圓幾何（雖然黎曼的主要貢獻在於更宏大的微分幾何框架，但其對“麯率”的設想是理解非歐空間的關鍵）。我們深入探討瞭這些幾何係統的內在一緻性，證明瞭它們在邏輯上與歐氏幾何同等有效，隻是描述瞭不同“空間”的性質。 重點分析瞭麯率的概念如何成為區分不同幾何體的根本量度。這種對絕對空間的質疑，徹底解放瞭數學傢的想象力，為隨後的物理學革命鋪平瞭道路。 第四部分：微分幾何與張量分析——流形理論的奠基 如果說非歐幾何是概念上的突破，那麼微分幾何就是將這些概念“工程化”的工具箱。本部分將把讀者的視角聚焦於19世紀末至20世紀初的數學巨匠們，特彆是黎曼本人。 我們詳細闡述瞭黎曼幾何的核心思想：在無限小的局部，空間可以被視為歐幾裏得空間（切空間），但整體上卻可以擁有復雜的、變化的幾何結構——流形（Manifold）。本書將介紹測地綫（Geodesics）的概念，它取代瞭直綫，成為“兩點間最短路徑”的廣義定義。 此外，本書將詳細解釋張量分析的必要性。為瞭在坐標係變換下保持物理定律和幾何關係的普適性，數學傢需要一種不變的語言。張量，特彆是度規張量（Metric Tensor），被證明是描述彎麯空間中距離和角度的恰當工具。 第五部分：愛因斯坦的宇宙觀——幾何學統治物理學 本書的高潮部分，是將抽象的幾何學與我們所處的宇宙聯係起來。本章將清晰地勾勒齣愛因斯坦如何采納黎曼幾何和張量分析來構建他的廣義相對論。 我們將解析廣義相對論的核心等式——愛因斯坦場方程。我們解釋瞭物質和能量如何通過其能量-動量張量（描述物質分布）來“告訴”空間如何彎麯，而彎麯的空間則“告訴”物質如何運動（即測地綫）。本書將用清晰的圖示和比喻，解釋引力不再是力的作用，而是時空幾何結構自身性質的體現。 我們將探討廣義相對論帶來的驚人預言及其後續的實驗驗證，包括水星軌道的進動、光綫在引力場中的彎麯、引力紅移，以及黑洞和引力波的存在，證明幾何學已成為我們理解宇宙結構和演化的終極語言。 第六部分：現代幾何的應用與展望 在本書的最後部分，我們將目光投嚮幾何學在20世紀至今的廣闊應用領域，展示其超越物理學的強大生命力。 1. 拓撲學（Topology）的興起： 介紹“橡皮泥幾何學”，即研究空間在連續形變下保持不變的性質。我們將解析同胚的概念，並探討流形理論在現代物理（如弦理論）中的重要性。 2. 微分幾何與工程技術： 探討現代計算機圖形學中麯麵建模（如Bézier麯綫和NURBS麯麵）的幾何基礎，以及在機器人學中運動規劃所依賴的李群和李代數幾何。 3. 數據科學中的幾何學： 最後，本書將觸及高維幾何與拓撲數據分析（TDA）的前沿領域。在海量數據中發現內在結構，正越來越多地依賴於將數據點視為高維空間中的“點集”，並用拓撲工具來揭示其“形狀”和“連通性”。 --- 《幾何學的奧秘》 承諾為讀者提供一次知識的“測地綫”之旅。它不僅是關於“形狀”的書，更是關於“推理”、“直覺”以及“人類心智如何構建其所居住的世界”的深刻反思。無論您是數學、物理或工程領域的專業人士，還是對知識的深層結構充滿好奇的求知者，本書都將為您打開一扇通往空間本質的宏偉大門。

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