Computer Algebra with SymbolicC++ pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Steeb, Willi-Hans

出品人:

页数:583

译者:

出版时间:

价格:$ 114.13

装帧:

isbn号码:9789812833600

丛书系列:

图书标签:

• Computer Algebra
• Symbolic Computation
• C++
• Mathematics
• Programming
• Algorithms
• SymbolicC++
• Scientific Computing
• Formal Methods
• Software Engineering

好的，以下是一部名为《几何拓扑的深层结构》的图书简介，全书约1500字，旨在详细阐述现代几何拓扑学的核心概念与前沿进展，且不涉及计算机代数或C++编程主题。 《几何拓扑的深层结构》 内容简介 《几何拓扑的深层结构》是一部旨在全面、深入剖析二十世纪下半叶以来几何拓扑学领域取得的重大进展与核心理论框架的专著。本书超越了传统的代数拓扑入门叙事，聚焦于微分几何、黎曼几何、低维拓扑以及现代规范场论与拓扑场论之间的深刻交叉点。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为高年级本科生、研究生以及致力于研究几何与拓扑的专业人士提供一个坚实的理论基石和前沿视野。 本书分为七个主要部分，层层递进，构建了一个从经典框架到当代研究热点的完整图景。 --- 第一部分：微分流形的现代基础与张量分析 本部分是理解后续高级理论的必要准备。我们首先系统回顾了光滑流形、切丛、向量场、微分形式、外导数以及德拉姆上同调的现代表述。重点在于引入纤维丛理论作为描述几何结构（如切丛、法丛、主丛）的核心工具。 随后，我们深入探讨了黎曼度量的构造与性质。详细阐述了度量张量、联络的引入、克里斯托费尔符号的几何意义，并严格推导了黎曼曲率张量、里奇张量和数量曲率。尤其值得关注的是，本部分对测地线方程的几何解释进行了细致入微的分析，并引入了霍奇分解在完备黎曼流形上的应用，为后续研究提供了重要的分析工具。 --- 第二部分：联络几何与规范理论的拓扑视角 几何拓扑的深刻性往往体现在如何用“联络”来描述场如何在流形上“移动”或“变化”。本部分的核心是纤维丛上的联络。我们详细考察了埃史顿-陈（Ehresmann）联络的定义，并着重分析了杨-米尔斯理论在抽象流形上的几何表述。 关键概念包括霍奇理论和陈-西蒙斯（Chern-Simons）理论的初步介绍。我们展示了如何通过联络的曲率（曲率形式）来定义陈类，如陈示性类和示性类。这些代数不变量被证明是流形拓扑性质的深层几何编码。本部分致力于建立从局部联络到整体拓扑不变量的桥梁。 --- 第三部分：低维拓扑：三维流形与拓扑不变量 低维拓扑，特别是三维流形的分类，是现代几何拓扑中最活跃的领域之一。本部分重点关注三维流形的几何化猜想（现已证实的几何化定理）的几何内涵。 我们系统梳理了三维流形上的测地流的性质，并详细介绍了庞加莱对偶在三维流形分类中的应用。核心章节深入讲解了规范群的拓扑性质，特别是对基本群的计算方法，如使用Seifert-van Kampen 定理。我们还将介绍琼斯多项式等拓扑不变量，并探究它们与三维流形上的链接群之间的关系，展示拓扑代数工具如何捕获三维空间的复杂性。 --- 第四部分：辛几何与李群的作用 辛几何是研究相空间结构的关键领域，它与李群作用下的哈密顿动力学有着密不可分的联系。本部分介绍了辛流形的定义，即具有非奇异闭合二次微分形式的流形。 我们详细阐述了泊松括号的几何构造，并证明了辛结构下的李导数与哈密顿向量场之间的关系。此外，本书还探讨了李群在流形上的有效作用，特别是柯斯杜尔结构（Kähler structure）作为黎曼、辛和复几何交汇点的特殊地位。通过介绍阿蒂亚-哲尔曼理论（Atiyah-Bott localization theorem）在辛流形上的应用，我们展示了如何利用对称性简化对上同调环上的积分计算。 --- 第五部分：拓扑场论的数学框架 拓扑场论（TQFT）是连接粒子物理、表示论和几何拓扑的最前沿领域。本部分旨在用严谨的数学语言阐述阿蒂亚的公理化 TQFT。 我们从二维 TQFT（即共形场论的拓扑版本）开始，详细分析了边界流形上的向量空间（Hilbert空间）如何随曲面的演化而变化。继而，我们构建了三维 TQFT，重点分析了Chern-Simons 作用量的路径积分的数学诠释，并展示了如何通过它来重现琼斯不变量。本书强调了莫尔夫代数在描述场论中激发态之间的关系中的作用。 --- 第六部分：旋量、狄拉克算子与几何算子理论 本部分将视角从纯粹的拓扑不变量转向依赖于度量的分析工具——微分算子。我们首先介绍了旋量（Spinors）的概念及其在流形上的提升，这是连接指标理论的关键。 核心章节是狄拉克算子 (Dirac Operator) 的定义、性质及其在黎曼流形上的几何解释。我们详细推导了高斯-邦内定理和林德勒夫-阿蒂亚-辛格指标定理的几何拓扑意义，强调指标定理如何通过分析算子的零模来确定流形的拓扑特征。这部分内容体现了分析工具在揭示拓扑深度方面的强大威力。 --- 第七部分：新近进展与展望 最后一部分简要概述了近年来几何拓扑领域涌现出的重要趋势。这包括：高维流形的微分拓扑，如史密尔（Smale）关于浸没和嵌入结果的几何拓扑基础；几何群论在粗糙几何学中的应用；以及极小曲面理论在常平均曲率（CMC）流形上的最新研究进展。本章旨在启发读者对未来研究方向的思考。 《几何拓扑的深层结构》的编写风格力求精确、严密，避免了过于直观的类比，而是通过严格的定义、定理和证明来构建知识体系。本书期望成为几何拓扑学领域中一部既能作为可靠参考书，又能作为深入研究起点的重要文献。

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