Advanced Courses of Mathematical Analysis III pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Sanchez, Juan M. Delgado (EDT)/ Benavides, Tomas Dominguez (EDT)

出品人:

页数:194

译者:

出版时间:2008-6

价格:$ 83.00

装帧:

isbn号码:9789812818447

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 实分析
• 泛函分析
• 高等数学
• 数学
• 分析学
• 微积分
• 数学教材
• 研究生教材
• 数学分析教程

《微分几何中的拓扑学基础》 作者： [此处可留空或填写虚构作者名] 出版社： [此处可留空或填写虚构出版社名] ISBN： [此处可留空或填写虚构ISBN] --- 内容简介 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的拓扑学基础，特别侧重于微分几何和几何分析领域中至关重要的概念和工具。与专注于实分析和测度论的经典分析课程（如《Advanced Courses of Mathematical Analysis III》所涵盖的内容）不同，本书将数学家的视角从 $mathbb{R}^n$ 上的函数空间和收敛性理论，巧妙地转移到更抽象、更具几何洞察力的空间结构研究上。 本书的第一部分奠定了点集拓扑的基石，这是理解所有现代几何学分支的必要前提。我们从集合论的基本概念出发，细致地讨论了拓扑空间的定义、基、子基、和子拓扑的构造。随后，我们将重点深入探究几个关键的拓扑性质：紧致性、连通性以及分离公理（如 Hausdorff 性、$T_3, T_4$ 性）。这些性质在处理极限、收敛以及函数空间的完备性问题时起着决定性作用，远比传统分析中基于 $epsilon-delta$ 论证的局部紧致性更具普适性。例如，我们详细分析了紧致性在 Tychonoff 定理中的应用，以及路径连通性在定义基本群时的重要性。 进入第二部分，我们将引入代数拓扑的初级工具，这为研究“洞”和“空间结构”提供了代数语言。本书的核心内容之一是对基本群（Fundamental Group）的详尽阐述。我们不仅介绍了路径与同伦的概念，还严格证明了基本群是一个群，并计算了圆周 $S^1$、环面等经典空间的 $pi_1$。这一点与实分析中对黎曼积分或傅里叶级数的研究路径截然不同，它关注的是空间固有的、拓扑不变量的属性。我们还会简要介绍同调论（Homology Theory）的动机，特别是链复形和边界算子的概念，为后续学习微分形式的积分和 Stokes 定理的推广做铺垫。 本书的第三部分是连接纯拓扑与微分几何的关键桥梁——流形理论（Manifold Theory）。我们清晰地界定了拓扑流形和光滑（或微分）流形的概念。流形的定义要求局部具有 $mathbb{R}^n$ 的结构，但整体结构可以任意复杂。我们详细讨论了坐标系、图册（Atlas）以及转移映射（Transition Maps）的必要光滑性要求。 在流形部分，我们将重点放在建立微分几何所需的分析框架： 1. 切空间（Tangent Space）：我们首先通过切向量作为导子（Derivation）的代数定义来引入切空间 $T_p M$，这避免了过度依赖于曲线参数化的传统方法。我们严格证明了 $T_p M$ 确实是一个向量空间，并阐述了其维度与流形的维度一致。 2. 张量场（Tensor Fields）：在定义了切空间后，自然地推广到 $(k, l)$ 型张量场。我们详细讨论了协变（上指标）和反变（下指标）张量的变换法则，这对理解曲率、度量以及各种几何构造至关重要。 3. 微分形式与外微分（Differential Forms and Exterior Differentiation）：这是连接分析和几何的决定性工具。我们引入了楔积（Wedge Product），定义了 $k$-形式 $Omega^k(M)$，并建立了外微分算子 $d$。我们严格证明了 $d^2 = 0$，这是后续研究德拉姆上同调的基础。这部分内容与传统的实分析中讨论的梯度的广义化有深刻联系，但其几何意义和代数结构更为丰富。 本书的最后一部分，几何分析的初步探索，将前述工具应用于经典几何问题。我们将介绍向量场的积分曲线（流），并在此基础上引入李导数（Lie Derivative）的概念，它衡量了一个向量场如何改变某个几何对象（如张量场）。我们还将简要介绍黎曼度量（Riemannian Metric）的定义，将其视为一个光滑的 $(0, 2)$ 型对称张量，并解释如何利用外微分和度量来定义拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator），该算子在几何分析中扮演核心角色，例如在解决调和函数问题中。 本书的难度和深度远超标准的微积分和初级实分析课程，它聚焦于现代几何学的结构性问题，而非传统意义上函数的极限、收敛性或测度理论。它为有志于深入研究微分几何、拓扑学、广义相对论或几何分析的读者提供了不可或缺的、纯粹的结构化工具集。读者应具备扎实的线性代数和多变量微积分基础，但本书中的所有拓扑和流形概念都将从头开始严谨构建。

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