Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systems and Their Attractors pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Qin, Yuming

出品人:

页数:465

译者:

出版时间:

价格:$ 213.57

装帧:

isbn号码:9783764388133

丛书系列:

图书标签:

• 非线性偏微分方程
• 抛物线方程
• 双曲线方程
• 耦合系统
• 吸引子
• 动力系统
• 泛函分析
• 数值分析
• 常微分方程
• 偏微分方程

数学物理中的多尺度动力学与拓扑结构：一部综合性的研究 图书简介 本书深入探讨了当代数学物理前沿领域中，一类结构复杂、非线性特征显著的多尺度动力学系统的动力学行为与拓扑性质。研究的重点聚焦于那些在微观层面表现出波传播特性（如双曲型方程支配），而在宏观尺度上则呈现出耗散或扩散行为（如抛物型方程支配）的耦合系统。这类系统在描述诸如非均匀介质中的电磁场演化、复杂流体动力学中的界面稳定性，以及涉及相变过程的能量传输等现象时扮演着核心角色。 全书结构严谨，内容组织遵循从基础概念的建立到复杂模型分析的递进路线，旨在为读者提供一套全面而深入的理解框架。 第一部分：基础理论与模型构建 本书开篇部分致力于为后续的深入分析奠定坚实的数学基础。首先，我们回顾了泛函分析、Sobolev空间理论在处理强非线性偏微分方程（PDEs）中的关键作用，特别关注了那些涉及不同阶导数耦合的算子理论。 1. 耦合系统的拓扑分类与适定性： 我们详细考察了如何对不同类型的非线性耦合项进行数学分类，特别是区分那些保持能量（守恒律）的系统与那些涉及耗散机制的系统。核心内容在于证明在某些函数空间内，此类系统的初边值问题（IBVP）的局部和全局适定性。这涉及对能量泛函的构造、利用熵积分（entropy-like integrals）来控制解的增长，并采用如加权 $mathcal{L}^2$ 范数等技术来克服双曲-抛物耦合带来的尺度不一致性。 2. 尺度分离与渐近分析： 针对系统中自然存在的多尺度特性，本部分引入了基于小参数的渐近展开方法。我们探讨了如何通过引入时间或空间尺度的分离变量（如 $epsilon$-展开），将复杂耦合系统降阶为一个或多个低维的有效模型。重点分析了边界层理论在处理快速弛豫过程中的应用，以及如何利用平均场理论来捕捉宏观尺度的集体行为，而忽略微观尺度的快速振荡。 第二部分：定性分析与长期行为 在建立了系统的数学框架和适定性基础后，本书的核心章节转向对系统长期动力学的定性研究，特别关注解的稳定性和系统最终收敛到的几何对象。 3. 耗散与全局吸引子理论： 对于那些具有足够耗散性的耦合系统，我们深入研究了其在无限维相空间中的吸引子结构。这部分内容是建立在经典吸引子理论基础之上的，但面临着双曲分量带来的挑战。我们构建了适用于非光滑解的能量缓冲估计，并证明了在高维空间中，解集族（solution semiflow）的 $mathcal{H}^1$ 范数或更高级别的模是一致有界的。通过使用冉可夫引理（Rauch’s Lemma）或类似的正则化技术，我们证明了该解集族是预紧的，从而存在一个由 Navier-Stokes 理论启发出的拉格朗日（Lagrangian）全局吸引子，该吸引子具有有限的分形维数。 4. 孤立子与行波解的存在性： 本书还专门辟出章节研究系统中的非平凡结构解，特别是孤立波（solitary waves）和单调行波解（traveling waves）。我们利用变分原理和山路定理（Mountain Pass Theorem）来寻找定常的、能量有限的孤立解。对于行波解，我们通过将非线性偏微分方程转化为常微分方程组（ODE system），并利用相平面分析技术，确定了它们在特定速度下的存在性、稳定性和分支行为。 第三部分：数值方法与计算实现 为了验证理论结果并模拟实际工程中的复杂现象，本书的最后一部分详述了针对这类混合型系统的稳定、高精度数值算法。 5. 混合型方程的统一时间积分格式： 传统的有限差分或有限元方法在处理混合型方程时常遭遇稳定性问题，尤其是在双曲部分（可能产生刚性或振荡）与抛物部分（引入平滑性）相互作用时。本书提出并分析了一种隐式-显式（IMEX）时间积分方案，其中对具有强对流或波传播特征的项采用高阶隐式方法（如 Crank-Nicolson 或 BDF 格式），而对耗散项采用显式Runge-Kutta方法。我们严格证明了该混合格式在适当的网格划分下，能保持整体的二阶精度，并保证了解的能量耗散趋势被正确捕获。 6. 几何结构保持的离散化： 认识到许多物理系统具有内在的几何结构（如能量守恒、质量守恒或拓扑不变量），本书倡导使用结构保持数值方法。我们探讨了如何利用离散化的李群结构来构造体积守恒（Volume Preserving）或能量守恒的有限体积（Finite Volume）格式，特别是在模拟涉及界面移动的耦合问题时，确保离散解不会产生不自然的能量涨落或渗透现象。 总结 《数学物理中的多尺度动力学与拓扑结构》不仅是对现有研究成果的系统整理，更是在数学工具和物理洞察的交汇点上，对复杂非线性耦合系统提供了一种全新的、统一的分析视角。本书适合于研究生、博士后研究人员以及从事计算数学、理论物理和应用数学领域的专业人士阅读和参考。它要求读者具备扎实的偏微分方程和泛函分析基础。

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