Mathematical Aspects Of Quantum Computing 2007 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Nakahara, Mikio (EDT)/ Rahimi, Robabeh (EDT)/ SaiToh, Akira (EDT)

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:

价格:772.00 元

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isbn号码:9789812814470

丛书系列:

图书标签:

• 量子计算
• 数学
• 量子信息
• 算法
• 线性代数
• 群论
• 编码理论
• 复杂性理论
• 物理
• 计算机科学

量子信息与计算的数学基础 （一本关于量子信息和计算数学原理的权威著作） 内容概述 本书深入探讨了量子信息与计算领域所依赖的纯数学结构、理论框架及其在实际计算范式中的应用。我们聚焦于构建理解和分析量子现象所需的核心数学工具，而非量子物理学的具体实验细节或硬件实现。全书旨在为数学家、理论物理学家以及希望深入理解量子计算底层逻辑的计算机科学家提供一套严谨而全面的数学视角。 全书分为五个主要部分，层层递进，系统梳理了从经典信息论到高级量子纠错理论的数学演变路径。 --- 第一部分：线性代数与量子态的几何表征 本部分是全书的基石，侧重于量子计算中最基础的数学语言——线性代数在描述量子系统中的应用。 1.1 向量空间与希尔伯特空间基础： 详细阐述了有限维复向量空间（$mathbb{C}^d$）作为量子态载体的必要性。重点讨论了内积、范数、线性变换的定义及其在物理诠释中的作用。引入了完备性概念，并解释了为什么希尔伯特空间是描述量子力学状态的自然数学框架。 1.2 算符与观测量的数学结构： 系统介绍了线性算符、厄米算符（Hermitian Operators）的性质，阐明它们如何对应于物理中的可观测量。深入探讨了谱分解（Spectral Decomposition）在理解测量过程中的核心地位。讨论了投影算符（Projection Operators）及其在量子态坍缩模型中的数学表述。 1.3 张量积与多体系统： 详细解析了张量积（Tensor Product）在组合多个量子比特（Qubits）时所扮演的角色。通过对张量积空间的维度增长和基矢构建的分析，为理解纠缠态的数学描述奠定基础。引入了可分离态（Separable States）与纠缠态（Entangled States）的代数判据。 1.4 量子态的几何表示： 对单量子比特态（$d=2$）的几何可视化，重点分析了布洛赫球（Bloch Sphere）的拓扑结构和参数化方法。讨论了更高维度系统中的流形表示及其在量子态空间中的轨迹分析。 --- 第二部分：信息论与概率的量子化 本部分将数学视角从状态描述扩展到信息量的度量，探讨信息论在量子背景下的修正与深化。 2.1 经典信息论回顾： 简要回顾香农熵（Shannon Entropy）的概念、信源编码定理和信道容量。这为后续引入量子度量提供了必要的对比基础。 2.2 冯·诺依曼熵与纯粹性度量： 正式引入冯·诺依曼熵（von Neumann Entropy）作为描述密度矩阵（Density Matrix）的数学工具，用于量化混合态（Mixed States）的不确定性。详细分析了纯度（Purity）的代数定义及其与熵的关系。 2.3 互信息与量子关联： 定义了经典互信息在量子系统中的对应物——量子互信息（Mutual Information）。重点分析了量子互信息在判断系统间关联方面的特性，特别是其在纠缠度量中的局限性。 2.4 概率的转变： 讨论了量子概率论与经典概率论的根本区别。分析了波恩定则（Born Rule）的数学形式，并探讨了期望值（Expectation Values）在非对易（Non-Commutative）代数框架下的计算方法。 --- 第三部分：量子信息的数学度量——纠缠的量化 纠缠是量子计算区别于经典计算的核心资源。本部分专注于对这一非经典特性的精确数学刻画。 3.1 量子纠缠的定义与判据： 从代数角度形式化纠缠的概念。深入研究了判定两个量子态是否纠缠的数学方法，包括利用对易子（Commutators）和局部操作加经典通信（LOCC）的概念。 3.2 纠缠度量的理论框架： 详细讨论了多种量化纠缠的数学指标： 纠缠熵（Entanglement Entropy）： 特别关注奇点熵（Entanglement Entropy）在多体系统中的边界行为和区域依赖性。 纠缠保真度（Entanglement Fidelity） 与 纠缠度（Concurrence）： 针对双量子比特系统，详细推导了纠缠度的计算公式及其在量子门操作下的演变。 3.3 秩与矩阵分解： 引入矩阵的秩（Rank）概念，并将其与量子态的纯度关联起来。讨论了奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在分离和分析纠缠态中的关键作用，特别是对密度矩阵的谱分解应用。 --- 第四部分：量子计算模型与复杂度理论 本部分将数学工具应用于构建和分析量子计算的理论模型，并探讨其相对于经典模型的计算优势的数学来源。 4.1 量子电路模型： 严格定义了酉矩阵（Unitary Matrices）作为量子门（Quantum Gates）的数学要求。分析了单比特门和多比特门（如 CNOT）在酉群 $U(2^n)$ 中的具体表示。讨论了通用量子门集（Universal Gate Sets）的代数完备性。 4.2 量子算法的数学结构： 以Shor算法和Grover算法为例，解析了量子傅里叶变换（Quantum Fourier Transform, QFT）的数学构造，并展示了其如何实现指数或多项式加速。重点分析了相位估计（Phase Estimation）子程序的数学内核。 4.3 量子计算的复杂度类： 将经典复杂性理论（如P, NP）的框架引入量子领域。定义并分析了量子复杂性类 BQP (Bounded-error Quantum Polynomial time)。讨论了量子图灵机（Quantum Turing Machine）的数学模型，并探讨了 $ ext{BQP}$ 相对于其他经典复杂性类的包含关系。 4.4 量子计算的不可逆性与可逆性： 探讨了酉演化（Unitary Evolution）对计算过程中信息守恒的要求。分析了 Toffoli 门等可逆逻辑门在图灵完备性中的作用，以及不可逆计算在量子环境下的处理方式。 --- 第五部分：量子信息学的拓扑与编码 本部分侧重于如何利用先进的数学结构（特别是代数拓扑和编码理论）来保护量子信息，抵抗噪声。 5.1 噪声模型与退相干的数学描述： 形式化地描述了开放量子系统中的动力学。引入了完全正映射（Completely Positive Maps, CPTP maps）来描述量子通道（Quantum Channels）。详细分析了林布雷方程（Lindblad Equation）的数学形式及其在描述退相干过程中的应用。 5.2 量子误差校正码（QECC）的代数基础： 将经典编码理论中的线性码概念推广到希尔伯特空间。定义了稳定子（Stabilizer）的概念，并阐述了它们如何生成一个李代数（Lie Algebra）来描述代码空间。 5.3 经典与量子的汉明界限： 推导并分析了量子汉明界限（Quantum Hamming Bound）和量子海明界限（Quantum Sphere Packing Bound），这些界限从数学上限制了在特定噪声水平下实现可靠计算的最小冗余度。 5.4 拓扑量子计算的数学构想： 介绍了拓扑量子计算的基本代数结构，重点是张量范畴（Tensor Categories）和张量网络（Tensor Networks）在描述和实现拓扑保护中的作用。讨论了任意子（Anyons）的数学交换关系，以及它们如何提供对局部扰动的内在抵抗力。 --- 目标读者： 高年级本科生、研究生、研究人员，以及任何对量子信息背后的严格数学结构感兴趣的专业人士。本书要求读者具备扎实的线性代数、概率论和抽象代数知识。

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