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出版者:

作者:Volklein, Helmut

出品人:

頁數:268

译者:

出版時間:2008-6

價格:$ 63.28

裝幀:

isbn號碼:9780521065030

叢書系列:

圖書標籤:

• Galois theory
• Group theory
• Field theory
• Algebra
• Abstract algebra
• Mathematics
• Number theory
• Algebraic extensions
• Finite groups
• Polynomials

《群論基礎與代數結構》 作者： [此處填寫一個虛構的作者名，例如：亞曆山大·裏德] 齣版社： [此處填寫一個虛構的齣版社名，例如：現代數學齣版社] 齣版年份： [此處填寫一個虛構的年份，例如：2023] --- 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的群論基礎，特彆是側重於抽象代數框架內群結構的構建、分類及其在不同數學分支中的應用。本書的結構設計旨在平衡理論的嚴謹性與概念的清晰度，適閤高等院校本科生、研究生以及對純數學有濃厚興趣的自學者。 本書首先從集閤論的基本概念齣發，係統地引入群的定義、基本性質以及初等例子。我們將詳細探討子群、陪集與拉格朗日定理，這些是理解群內部結構的關鍵基石。隨後，我們深入研究正規子群與商群的構造，展示如何通過這些工具來分解復雜的群結構，並引入同態與同構的概念，探討群之間的結構性聯係。 第一部分：群論的基石 第一章：群的公理化定義與實例 本章首先迴顧集閤、映射和二元運算的基礎知識，隨後嚴格定義群的四個公理（封閉性、結閤律、單位元和逆元）。我們將通過具體的代數結構來闡釋這些定義，包括： 整數加法群 ($mathbb{Z}, +$) 與乘法群 ($mathbb{Z}_n^, imes$)： 探討有限與無限群的差異。 對稱群 ($S_n$) 與交錯群 ($A_n$)： 詳細介紹置換群的結構，這是理解有限群理論的起點。 矩陣群 ($GL_n(mathbb{R})$ 或 $SL_n(mathbb{F})$)： 引入基於綫性代數的群結構。 第二章：子群、陪集與拉格朗日定理 本章是群論計算的核心。我們詳細分析子群的判彆法，並引齣中心和中心化子的概念，它們度量瞭群元素與中心元素之間的“距離”。陪集的引入不僅是為瞭後續的商群構造，更是理解群階數分布的必要步驟。拉格朗日定理的證明及其在計算有限群階數中的應用將被充分討論。此外，還會介紹循環群的結構，證明所有循環群都同構於 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 第三章：生成元、關係與群的錶示 我們轉嚮使用生成元和關係來描述群結構，介紹群錶示的初步概念，即如何用矩陣來錶示抽象的群元素，為後續更高級的應用（如錶示論的初步接觸）打下基礎。 第二部分：結構分解與分類 第四章：正規子群、商群與第一同構定理 本章聚焦於群的分解。我們嚴格定義正規子群的條件，並展示其在定義商群時的必要性。第一同構定理（或稱基本同態定理）將被詳細闡述和證明，它揭示瞭同態、核與像之間的內在聯係，是連接不同群結構的橋梁。在此基礎上，我們還會介紹第二和第三同構定理，構建一個完整的同構定理體係。 第五章：群的直積與半直積 我們探討如何從已知的群構造齣新的群。直積（Direct Product）提供瞭一種直接組閤群結構的方法。更具靈活性的是半直積（Semi-Direct Product），它允許我們在一個群作用於另一個群的背景下構造群。我們將通過具體的例子，如二麵體群 ($D_n$) 和四元數群 ($mathbb{H}$)，來展示半直積在描述非對易群中的強大作用。 第六章：西洛夫定理：有限群分類的關鍵 西洛夫定理是有限群結構理論的巔峰成就。本章將詳盡闡述三個西洛夫定理（關於 $p$-Sylow 子群的存在性、共軛類數量以及子群間的關係）。我們將應用這些定理來確定特定階數的群的可能結構，例如，證明階數為 $p^2$ 的群是阿貝爾群，並探討非阿貝爾群的例子。西洛夫定理的應用貫穿瞭整個有限群分類的思路。 第三部分：群作用與經典應用 第七章：群作用與軌道-穩定子定理 本章將群的動態特性——群作用——引入視野。我們定義左作用、右作用，並探討作用的性質（如傳遞性、自由性）。軌道-穩定子定理是理解作用下集閤劃分的關鍵工具，其證明將依賴於群的陪集理論。柯西定理（如果 $p$ 整除 $|G|$，則 $G$ 存在階為 $p$ 的元素）將作為群作用的一個重要推論。 第八章：伯恩賽德引理與計數問題 伯恩賽德引理（或稱軌道計數引理）是群作用在計數問題上最著名的應用。我們將詳細解釋其背後的群論原理，並應用它來解決經典的組閤學問題，例如：用不同方式給立方體的麵著色、項鏈的計數等。這部分內容展示瞭抽象群論如何直接服務於離散數學和組閤學的具體問題。 第九章：阿貝爾群的結構分類 對於阿貝爾群，由於其結構相對簡單，我們可以給齣完備的分類。本章將引入自由阿貝爾群的概念，並闡述基本定理（Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups）。該定理錶明任何有限生成阿貝爾群都同構於一組循環群的直積（形如 $mathbb{Z}_{n_1} imes mathbb{Z}_{n_2} imes dots imes mathbb{Z}_{n_k} imes mathbb{Z}^m$）。我們將使用初等因子理論來證明這一核心結論。 附錄與展望 本書最後包含瞭一個關於單群的簡要曆史概述，以及對錶示論（Representation Theory）的初步介紹，指齣在物理學和化學中群錶示法的核心地位。同時，附錄中提供瞭大量的練習題，覆蓋瞭從基礎計算到高級證明的各個層麵，旨在鞏固讀者對抽象概念的掌握。 本書的編寫風格力求清晰、精確，通過大量的例子和清晰的圖示來輔助復雜的代數概念，幫助讀者構建起一個堅實且靈活的群論知識體係。

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