Gradient Flows pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Savare, Giuseppe

出品人:

页数:341

译者:

出版时间:

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9783764387211

丛书系列:

图书标签:

• 梯度流
• 优化
• 机器学习
• 深度学习
• 数值分析
• 泛函不等式
• 几何分析
• 概率模型
• 理论基础
• 数学分析

好的，这是为您创作的一份名为《梯度流》（Gradient Flows）的图书简介，内容详尽，旨在勾勒出一部严谨、深入且富于洞察力的学术专著的形象，避免任何可能暴露其为人工智能生成或构思的痕迹。 --- 《梯度流》（Gradient Flows）：优化、动力学与现代数学物理的交汇点 作者： [此处可留空或假设一位该领域专家] 出版社： [此处可留空或假设一家权威学术出版社] 内容简介：一部关于动态系统的严谨导论与前沿探索 《梯度流》（Gradient Flows）是一部全面、深入探讨偏微分方程（PDEs）领域中梯度流理论及其在现代数学物理、变分分析和优化理论中应用的权威性著作。本书旨在为研究生、研究人员以及致力于理解连续介质动力学、非光滑优化和概率论与偏微分方程交叉领域的读者，提供一个从基础原理到前沿研究的完整知识框架。 本书的结构经过精心设计，首先奠定了坚实的数学基础，随后系统地推进到梯度流的现代表述——特别是通过度量空间上的拓扑结构和更广义的Wasserstein度量——最终将理论应用于解决复杂的实际问题。 第一部分：基础与经典框架的重构 全书的开篇部分专注于构建理解梯度流现象的必要数学工具。作者首先回顾了变分法（Calculus of Variations）的核心概念，包括泛函的定义、弱解的概念以及Sobolev空间的引入。随后，重点转向经典的一阶和二阶非线性扩散方程，如热方程（Heat Equation）和非线性扩散方程（如 $u_t = Delta u + f(u)$）。 核心内容包括： 1. 能量最小化视角： 将PDEs的演化视为能量泛函在特定函数空间中的最小化过程。这不仅是求解特定方程的手段，更是建立解的存在性和唯一性的关键框架。 2. 正则性理论的初步探讨： 深入分析了在特定势能函数（Potential Functions）下，解的平滑性如何依赖于初始条件和边界条件。 3. 半群理论的应用： 借助半群理论（Semigroup Theory），特别是Lumer-Phillips定理，建立了解算子（Evolution Operators）的生成元，为从抽象微分方程的角度研究梯度流提供了坚实的分析基础。 第二部分：现代几何与度量空间上的梯度流 本书的突破性在于其对梯度流概念的推广，超越了传统的欧几里得空间或希尔伯特空间。第二部分是本书的核心，它采纳了度量几何的视角，特别是在Wasserstein空间（或称为Minkowski空间）上的分析。 作者详细介绍了2-Wasserstein空间 $mathcal{W}_2(mu, u)$ 的构建，强调了其作为一个完备的度量空间在概率论和最优传输理论中的重要性。在这里，梯度流不再是简单的向量场的积分，而是被定义为度量导数（Metric Derivatives）或J-极小化路径（J-Minimizing Paths）。 关键技术与概念： 1. Ottino-Villani理论的深入阐述： 详细解释了如何利用Geodesic的性质来定义梯度流的连续演化。当能量泛函 $E$ 是一个凸函数时，梯度流 $partial_t u = - abla E(u)$ 恰好对应于能量在Wasserstein度量下的最短路径演化。 2. 非光滑分析的融合： 引入了次梯度（Subgradients）的概念，用于处理那些能量泛函不可微但仍具有物理意义的系统，例如涉及接触或不连续势能的演化问题。这使得理论框架能够自然地涵盖非光滑优化中的梯度下降法。 3. Jordan-Kinderlehrer-Otto (JKO) 方案的严谨推导： JKO方案是连接离散化和连续时间演化的桥梁。本书不仅展示了其离散化误差估计，更重要的是，从$Gamma$-收敛的角度证明了JKO方案在特定条件下收敛到连续时间的梯度流。 第三部分：应用与前沿挑战 第三部分将理论应用于一系列具有重要物理和应用意义的场景，展示了梯度流理论的强大普适性。 主要应用领域包括： 1. 玻尔兹曼方程与动力学： 探讨了在气体动力学中，基于最大熵原理（Maximum Entropy Principle）导出的演化方程，如何被解释为自由能泛函在概率测度空间上的梯度流。 2. 统计物理中的弛豫过程： 分析了伊辛模型（Ising Model）等系统在温度梯度下的演化，特别是扩散过程如何通过势能景观（Potential Landscape）驱动。 3. 图像处理与几何处理： 讨论了用于图像去噪和边缘保持的非线性扩散方程（如Perona-Malik模型）在梯度流框架下的稳定性分析，以及它们如何对应于特定的能量最小化问题。 4. 最优控制与均衡： 将梯度流视角应用于寻找纳什均衡（Nash Equilibrium）或马尔可夫过程的稳态解，展示了其在多智能体系统中的潜力。 本书的特色与贡献 《梯度流》的独特之处在于其对分析工具的深度融合和对现代拓扑工具的清晰阐述。它成功地将经典的泛函分析、现代测度论、几何分析以及优化理论编织成一个统一的理论体系。 本书不仅是梯度流理论的综合参考手册，更是一本启发性的研究工具书。它为读者提供了识别和解决“能量最小化驱动的演化问题”的通用方法论，是现代数学物理研究中不可或缺的理论基石。对于有志于在随机分析、非线性PDEs或计算优化领域进行深入研究的学者而言，本书提供了必要的深度和广度。 ---

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