Basic Bundle Theory and K-Cohomology Invariants pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Husemoller, D./ Joachim, M./ Jurco, B./ Schottenloher, M.

出品人:

页数:340

译者:

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价格:99

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isbn号码:9783540749554

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图书标签:

• Bundle Theory
• K-Cohomology
• Algebraic Geometry
• Topology
• Characteristic Classes
• Vector Bundles
• Cohomology
• Mathematics
• Invariants
• Fiber Bundles

拓扑学与几何学的交汇点：现代数学的基石 本书深入探索了代数拓扑学和微分几何学的前沿领域，侧重于构建和分析那些能够揭示空间内在结构和形变的强大理论工具。我们将超越传统拓扑学的范畴，进入一个由高级不变量、同调理论和纤维丛理论所构筑的复杂而精妙的世界。本书旨在为高级研究生和研究人员提供一个全面的视角，理解如何利用代数方法来量化几何对象的性质。 第一部分：高阶同调理论的构建与应用 本部分首先回顾了奇异同调和群上同调的基础，然后迅速过渡到更复杂的理论体系。我们将详细阐述上同调理论（Cohomology Theories）的公理化基础，包括它们如何满足 Eilenberg-Steenrod 公理的延伸形式。重点讨论了延展上同调理论（Extraordinary Cohomology Theories）的构造，特别是那些与特定几何结构紧密相关的理论，例如 K-理论（K-Theory）和 cobordism 理论。 K-理论的构造与复形分析： 我们将深入研究向量丛上的 K-理论。从基础的拓扑 K-理论（Topological K-Theory）开始，详细推导其周期性，并展示如何将其推广到更一般的空间，如带结构的局部紧致空间。接着，我们将探讨 Atiyah-Hirzebruch 谱序列，这是连接 K-理论与普通上同调的桥梁。书中包含了对 $K imes mathbb{Z}_2$ 上的同伦群的计算，以及如何利用 Bott 周期性来简化这些计算。我们还将考察环上的代数 K-理论，探讨它们与动力系统和代数几何中不变量的联系。 流形上的上同调： 接下来，我们转向微分拓扑的领域。德拉姆上同调（de Rham Cohomology）作为连接微分形式与拓扑空间的工具，将被置于一个更广阔的框架下考察。我们将详细分析 Weil代数 和 Weil同态，它们是研究规范场理论和 Chern-Weil 理论的基础。书中包含了对曲率形式的精确计算，以及如何利用这些形式来构造 Pontryagin 类和 Chern 类的积分形式表示。特别关注 Weil 复合体 在研究纤维丛上的上同调时所扮演的角色。 第二部分：几何不变量与层理论 本部分的核心在于如何利用代数工具来编码流形的几何信息。我们将从一个更基础的角度审视层论（Sheaf Theory），将其视为研究局部数据如何一致地组合成全局结构的语言。 层上同调与示踪性： 我们将深入研究层上同调，特别关注向量丛的上同调群，以及它们如何与 Dolbeault 上同调建立联系。书中详细讨论了 Grothendieck 范畴 的性质，以及局部自由层（Locally Free Sheaves）在代数几何中的重要性。我们将考察 Morita 等价性在层理论中的应用，以及如何利用 固着层（Fixed Sheaves）来研究对称空间上的几何结构。 特征类与黎曼几何： 几何不变量的构建是本部分的关键。我们将系统地介绍 Todd 类、Euler 类 以及更一般的 Chern-Simons 类。不再仅仅将它们视为拓扑不变量，而是从它们的微分形式表示出发，展示它们如何与流形上的联络和曲率紧密相关。我们详细分析了 Riemann-Roch 定理 在复杂流形上的推广，特别是 Hirzebruch-Riemann-Roch 定理的代数几何起源及其在向量丛上的应用。书中包含了对 Weil 积分公式 的推导，该公式将流形上的积分与层上同调联系起来。 第三部分：同伦论与纤维丛的分类 本部分转向同伦论（Homotopy Theory）在纤维丛分类中的应用，重点在于理解更高阶的同伦群如何影响空间的构造。 同伦群与纤维丛： 我们将回顾 Serre 纤维丛的基本理论，并引入 Serre 谱序列，用于计算纤维丛的同调群，即使纤维和基空间本身的同调群已知。本书将详细阐述 Hurewicz 定理 的推广形式，以及如何利用 Whitehead 积 来研究高阶同伦群之间的非平凡关系。 纤维丛的分类与稳定化： 纤维丛的分类通常归结为它们上的横截面或联络的结构。我们将讨论 Thom 空间 的概念，它是 K-理论的自然背景，并阐述如何使用稳定纤维丛（Stable Vector Bundles）来定义稳定的 K-理论。书中对 Browns 表示定理 进行了深入的阐释，该定理将特定的上同调理论与特定类型的纤维丛的分类联系起来，提供了从代数不变量到几何对象的清晰映射。 模型范畴与导出范畴： 为了处理更复杂的操作（如函子复合和正合性），本书引入了现代代数拓扑中不可或缺的工具——模型范畴（Model Categories）。我们将探讨 simplicial 集合 上的模型范畴，以及如何使用它们来定义 导出函子（Derived Functors）。这为理解通过层论和 K-理论导出的不变量的“精确”性质提供了严格的框架。书中探讨了如何通过导出范畴来统一处理截面层与导出层之间的关系，尤其是在奇异空间上的应用。 第四部分：非交换几何的拓扑视角 最后一部分将目光投向拓扑学与非交换几何的交叉点。虽然本书侧重于经典拓扑结构，但其工具箱为理解非交换空间提供了必要的预备知识。 非交换 C-代数与 K-理论： 我们将简要介绍 Calkin-Willard 定理 的拓扑背景，并展示 K-理论如何自然地作用于 C-代数，从而定义 非交换 K-理论。本书解释了如何利用投影（Projections）和链复形（Chain Complexes）来模拟传统拓扑空间中的向量丛，即使在没有点集的背景下，K-理论不变量仍然可以被计算出来。 非交换拓扑的几何直觉： 我们将探讨 Connes 的迹公式（Trace Formula）的拓扑前驱，理解为什么在光滑流形上，Chern-Weil 理论的积分形式可以被一个迹操作所替代。这部分强调了从经典几何到更抽象的代数结构的过渡，展示了拓扑不变量的持久性和普适性。 全书的组织结构旨在逐步提升读者的抽象思维能力，从对基本同调理论的熟练掌握，过渡到运用复杂谱序列和导出范畴来解决前沿的几何和拓扑问题。对读者来说，掌握本书内容将意味着具备了在现代微分拓扑、代数几何和理论物理的交汇处进行独立研究的能力。

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