Topological Methods in Group Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Ross Geoghegan

出品人:

页数:473

译者:

出版时间:2007-12-17

价格:USD 64.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387746111

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 拓扑学
• 群论
• 代数拓扑
• 数学
• 抽象代数
• 群表示论
• 同调论
• 代数结构
• 拓扑群
• 数学研究

拓扑方法在群论中的应用：探究结构与性质的桥梁 图书简介 本书旨在深入探讨拓扑学作为一种强有力的工具，如何被应用于群论的研究之中，揭示群结构的深刻内涵与复杂性质。我们聚焦于拓扑学概念与代数结构之间的丰富互动，特别是在理解无限群、离散群以及它们所具有的几何属性方面所展现出的巨大潜力。 第一部分：基础的融合与视野的构建 本书的开篇将建立起研究的基石，确保读者对两个核心领域——拓扑学和群论——的关键概念有扎实的理解。 第一章：群论的拓扑视角 本章首先回顾了群论的经典定义、子群、商群、同态和同构等基本概念。随后，我们将引入拓扑群的概念。拓扑群不仅仅是一个群，它还承载了一个拓扑空间结构，并且群的运算（乘法和求逆）必须是连续映射。这是连接两个学科的第一个也是最重要的桥梁。我们将详细讨论紧致群、连通群以及它们在不同拓扑空间上的性质。例如，有限生成离散群在嵌入为李群时的特殊地位，以及李群的结构理论，如与微分流形和李代数的联系。我们还将探讨哈尔测度（Haar Measure）在拓扑群上的重要性，它是对群上“均匀”概念的拓扑推广，为积分和分析工具的应用奠定了基础。 第二章：基本群与覆盖空间 本章转向代数拓扑的中心工具——基本群（Fundamental Group）。基本群 $pi_1(X)$ 捕捉了空间 $X$ 中“洞”的数量和类型。我们将展示如何将群论的结构自然地嵌入到基本群的计算中。重点在于覆盖空间理论，这是理解基本群结构的关键。我们将阐述布劳尔不动点定理在群论中的间接应用，以及如何利用覆盖空间来研究群的扩张和中心。对于一个群 $G$，我们构建其Cayley 图，这是一个重要的离散几何对象。Cayley 图本质上是一个 1-连通复形，它的基本群与群的某些群论性质紧密相关。我们将分析如何通过拓扑构造来研究群的生成元关系，并介绍群演示（Group Presentation）的拓扑解读。 第二部分：几何群论的兴起与深入 本部分将核心精力集中于几何群论（Geometric Group Theory）这一前沿领域，该领域利用几何和拓扑工具来研究离散群。 第三章：群的几何模型：Cayley 复杂结构 Cayley 图的引入是几何群论的起点。我们将详细分析 Cayley 图的几何属性，例如其直径、围长（Girth）以及各种距离的度量性质。我们关注那些其Cayley图具有特殊拓扑性质的群，例如双曲群（Hyperbolic Groups）。 第四章：双曲群与Dehn 词 双曲群（由 Gromov 引入）是几何群论中最重要的概念之一。它们在负曲率空间中具有良好的行为，类似于黎曼几何中的负曲率流形。本章将系统介绍双曲性的定义，包括其特征性的三边不等式。我们将探讨Dehn 词和其在双曲群中的作用，特别是在研究群的子群和同构问题时，双曲性如何简化了这些代数难题。我们还将触及Menger 曲率和超度量空间的概念，这些是定义和量化双曲性的现代工具。 第五章：不动点定理与群作用 拓扑学中的不动点定理是分析动力系统和群作用的强大工具。本章探讨Brouwer 不动点定理、Kakutani 不动点定理以及更一般化的不动点定理在群作用于拓扑空间时的应用。我们将重点分析群在凸集上的作用，以及如何利用这些不动点结果来证明关于群结构（如周期性或有限性）的代数结论。例如，如何在具有特定拓扑性质的空间（如赋范线性空间）上，通过群的连续作用来推导出群的特定子群的存在性。 第三部分：代数拓扑的进阶工具与现代前沿 本部分将引入更复杂的代数拓扑工具，并展示它们在解决现代群论问题中的威力。 第六章：同调与上同调的代数拓扑视角 虽然同调和上同调是代数拓扑的核心，但它们在群论中也有直接的解释和应用。我们将介绍群的上同调（Group Cohomology），并将其解释为群作用于某个模上的“扭曲”程度的度量。我们将详细讨论上同调群 $H^n(G, A)$ 的计算方法，特别是在 $G$ 为离散群时。我们将连接 $H^1$ 与群的导子群、Hopf 示量（Hopf Invariant）以及 $H^2$ 与群扩张（Extensions）和群的分类——例如，与群的环表示的关系。 第七章：纤维丛与群的表示 本章探讨群的拓扑表示。一个群 $G$ 在一个拓扑空间 $E$ 上的作用可以被视为一个纤维丛，其中 $G$ 是结构群。我们将讨论向量丛的分类问题，其中分类空间是相关的拓扑空间 $BG$（即 $G$ 的无限维空间上的光滑或一般拓扑的分类空间）。这种视角将群表示论转化为研究 $BG$ 的上同调环结构的几何问题。我们将阐述如何通过研究 $BG$ 的特征类来区分具有不同拓扑性质的群表示。 第八章：低维拓扑与三维流形 在低维拓扑学中，群论扮演着至关重要的角色，特别是对于三维流形（3-Manifolds）的分类。Thurston 的几何化猜想（现已证明）深刻地揭示了三维流形与特定离散群之间的联系。我们将讨论Poincaré 宇宙以及由三维流形的基本群决定的几何结构类型。我们将使用Seifert-Van Kampen 定理的拓扑原理来计算某些具有特殊几何结构的群（如曲面群或棱柱群）的基本群。 结论与展望 本书的最后部分将总结拓扑方法在群论中的核心贡献，强调拓扑学如何将纯粹的代数结构转化为具有可度量、可观察的几何对象。我们展望了这一交叉学科的未来方向，包括图谱理论、随机群的几何性质，以及在量子信息和拓扑量子计算中群的拓扑表征等新兴领域。本书旨在激发读者运用几何直觉和拓扑洞察力来解决深刻的群论问题。

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