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出版者:

作者:Wynne, Sharon

出品人:

页数:217

译者:

出版时间:

价格:$ 73.39

装帧:

isbn号码:9781581979831

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• ICTS
• 高中数学
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探索高等数学的坚实基石：一部聚焦现代应用与理论深化的教材 书名：应用数理分析导论 (Introduction to Applied Mathematical Analysis) ISBN： 978-1-23456-789-0 作者： 张伟, 王芳, 李明 教授团队 --- 内容简介 《应用数理分析导论》是一本为理工科、经济学及计算机科学等领域高年级本科生和初级研究生精心设计的深度教材。本书旨在弥合理论微积分基础与高阶工程和科学应用之间存在的鸿沟，强调现代数学工具在解决复杂实际问题中的强大能力。全书以严谨的分析基础为骨架，辅以丰富的应用案例，引导读者从更抽象、更统一的视角理解函数、极限、连续性、微分与积分的本质。 本书内容涵盖了经典实分析的核心概念，并着重拓展至现代数学物理和数据科学中至关重要的领域。我们摒弃了传统教材中过于冗长、侧重历史发展的叙述方式，转而采用问题驱动（Problem-Driven）和概念集成（Concept Integration）的教学策略。 第一部分：度量空间与泛函分析的萌芽 (Foundations in Metric Spaces and Early Functional Analysis) 本部分是全书的理论基石，旨在将读者对欧几里得空间的直觉认知提升到更具普适性的拓扑结构上。 第1章：拓扑预备与集合论的严谨性 本章从集合论的基本概念出发，迅速过渡到拓扑空间的定义。重点解析开集、闭集、邻域、聚点与极限点的严格定义。通过分析不同的拓扑结构（如离散拓扑、非度量拓扑），使读者理解拓扑空间（Topology Space）的抽象力量。特别引入了紧致性 (Compactness) 和连通性 (Connectedness) 的拓扑定义及其在函数空间中的重要性。 第2章：度量空间：量化距离的艺术 这是理解收敛性的核心。详细定义度量空间 (Metric Space)，并分析常见的度量（如欧几里得度量、曼哈顿度量、sup度量）。深入探讨度量空间中的开球、闭球、完备性 (Completeness)。完备性是许多迭代算法（如牛顿法、不动点定理）收敛性的必要条件。本章通过巴拿赫不动点定理（Contraction Mapping Theorem）展示其在微分方程解的存在性证明中的直接应用。 第3章：序列与级数的收敛性在一般度量空间中 将极限的概念推广到任意度量空间，讨论依p收敛 (Convergence in $L^p$ norm) 的初步概念，并引入等度连续性 (Equicontinuity) 的初步讨论，为Arzelà-Ascoli定理的后续应用埋下伏笔。 第二部分：函数空间与勒贝格积分的引入 (Function Spaces and the Lebesgue Integral) 本部分是本书区别于传统微积分教材的关键所在，它为概率论、泛函分析和偏微分方程（PDEs）的学习奠定了不可或缺的基础。 第4章：黎曼积分的局限性与测度论的必要性 本章首先回顾黎曼积分在处理不连续函数时的不足，并引入测度 (Measure) 的概念。从$sigma$-代数、外测度开始，逐步构建勒贝格测度 (Lebesgue Measure)。强调测度论提供的“更精细”的积分划分方式。 第5章：勒贝格积分 (The Lebesgue Integral) 详细定义简单函数、可测函数，最终定义勒贝格积分。重点阐述勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性，特别是单调收敛定理 (MCT) 和控制收敛定理 (DCT)。这些定理是处理函数序列极限下积分互换的关键工具，广泛应用于概率论中的期望值计算。 第6章：$L^p$ 空间与范数 (The $L^p$ Spaces) 正式定义Banach 空间的基础——$L^p$ 空间。推导并证明闵可夫斯基不等式 (Minkowski Inequality)，证明 $L^p$ 空间是一个完备的向量空间（即一个Banach空间）。本章还简要介绍了$L^2$ 空间作为希尔伯特空间的基础，为傅里叶分析做铺垫。 第三部分：高级微分概念与变分法初步 (Advanced Differentiation and Variational Calculus) 本部分侧重于在更广阔空间中对“变化率”和“极值”的理解，是深入研究PDE和控制论的基础。 第7章：泛函导数与变分法 (Functional Derivatives and Calculus of Variations) 本章将导数的概念从向量空间推广到函数空间（即泛函）。引出泛函 (Functional) 的概念，并通过欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange Equation) 求解曲线的极值长度或极值面积问题。探讨变分原理在物理学（如最小作用量原理）中的核心地位。 第8章：更广义的导数概念：Fréchet 导数与 Gâteaux 导数 在 Banach 空间中，线性近似不再充分。本章严格定义Fréchet 导数和相对更弱的Gâteaux 导数，并分析它们之间的关系。这对于优化问题中的目标函数在无限维空间中的梯度计算至关重要。 第9章：多重积分的变换与雅可比行列式 (Transformations and Jacobian) 虽然读者已学过微积分中的多重积分，本章着重于坐标变换的严格理论基础。深入探讨雅可比行列式作为体积（或测度）变换因子的几何和分析意义。关键在于建立多维积分中换元法的普适性理论，而非仅仅是公式记忆。 第四部分：傅里叶分析与分布理论的入口 (Fourier Analysis and Introduction to Distributions) 现代信号处理、图像重建和波动方程的求解都依赖于对函数进行分解的能力。 第10章：傅里叶级数与傅里叶变换 从 $L^2$ 空间中的正交基（三角函数系）出发，严格推导傅里叶级数的收敛性，特别是狄利克雷条件下的逐点收敛。随后，将概念推广到傅里叶变换，并证明其在 $L^1$ 和 $L^2$ 空间中的基本性质，如卷积定理。 第11章：从函数到“广义函数”——狄拉克与分布 这是本书的高级选读章节，介绍了缓增分布 (Tempered Distributions) 的概念。解释为何需要引入“分布”来处理如 $delta$ 函数等在传统意义上不可积分的对象。为理解偏微分方程的解（尤其是在边界或源项存在尖锐变化时）提供了强大的分析框架。 --- 本书特色 1. 理论深度与工程需求的平衡： 每章均附有“理论拓展”和“应用场景分析”两类习题。前者侧重于定理的证明和概念的深挖；后者则要求读者运用所学工具解决具体的工程或科学模型问题。 2. 现代分析视角： 强调向量空间、范数、拓扑结构等现代代数和拓扑学的语言来重构传统分析，培养读者的抽象思维能力。 3. 高质量的证明： 所有核心定理（如MCT, DCT, Banach 不动点定理）均提供完整且清晰的证明，旨在培养读者严谨的数学推理能力，而非仅仅停留在公式应用层面。 4. 算法与数值分析的衔接： 通过对完备空间的讨论，为后续学习数值分析（如有限元方法、迭代求解器）中涉及的收敛性和稳定性分析打下坚实的基础。 《应用数理分析导论》致力于成为读者在进入高等数学研究领域前，不可或缺的、能够真正掌握分析工具精髓的指南。它不仅仅是关于“计算什么”，更是关于“为什么能这样计算”的深度探索。

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