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《现代高等代数：群、环与域基础教程》 作者： 张伟, 李明, 王芳 出版社： 科学与教育出版社 ISBN： 978-7-5083-XXXX-X --- 内容简介 本书旨在为高等数学学习者提供一个深入且系统的现代高等代数基础知识体系。 面对当前数学教育对理论深度和逻辑严谨性日益增长的需求，我们精心编纂了这本教材，力求在概念的清晰阐述与证明的严密性之间找到最佳平衡点。全书内容覆盖了抽象代数的核心骨架——群论、环论与域论的基础部分，并辅以大量的应用实例和精选的习题，确保读者能够从根本上理解代数结构的本质。 本书特别注重培养学生的抽象思维能力和严格的数学证明能力。我们不满足于对概念的表面介绍，而是深入挖掘其内在联系和结构特性。例如，在群论部分，我们不仅详细介绍了陪集、正规子群和商群的概念及其重要性，还对同态与同构进行了详尽的讨论，并引入了第一同构定理作为连接这些核心概念的桥梁。对于初学者可能感到抽象的Sylow定理，本书采取了循序渐进的讲解方式，先从有限群的结构入手，逐步构建起理解Sylow定理所需的理论基础，随后对其完整证明进行剖析，旨在帮助读者跨越理解的难关。 进入环论部分，本书从理想、商环的概念入手，清晰地界定了主理想环（PID）、唯一因子域（UFD）和欧几里得整环之间的层级关系。我们通过大量的实例对比，展示了不同环结构在代数运算中的特性差异。例如，在讨论多项式环时，我们对整数系数多项式环 $mathbb{Z}[x]$ 与域上的多项式环 $F[x]$ 的区别进行了深入的辨析，强调了整环性质在定义唯一因子性中的关键作用。 域论部分是全书的理论高潮之一。本书从有理数域 $mathbb{Q}$ 开始，逐步构造出有限域的结构。伽罗瓦理论的基础——域扩张是本章的重点。我们详尽阐述了代数扩张、正规扩张和可分扩张的定义、性质及其相互关系。对于伽罗瓦群的引入，我们选择了最直观的视角，解释了域扩张与群论之间的深刻联系，特别是判别域是否可解（即伽罗瓦群是否为可解群）这一经典问题在本书中有明确的理论铺垫，尽管我们没有深入到完整的伽罗瓦理论的全部细节，但为有志于继续深造的读者打下了坚实的基础。 本书的特色和亮点： 1. 概念的深度剖析： 每一个重要定义（如循环群、模、特征等）都附带了详细的动机阐述和例子，避免了纯粹的符号堆砌。 2. 证明的完整性与清晰度： 所有关键定理的证明都力求完整、逻辑严密且易于跟随。对于复杂的证明，我们使用了分步解析的方式。 3. 丰富的例题与习题： 全书精选了数百道例题，这些例题不仅用于巩固基本概念，更引导学生理解理论在具体计算中的应用。课后习题分为基础练习、中等难度应用和挑战性探索三个层次，满足不同层次读者的需求。 4. 与其它数学分支的联系： 书中多次提及代数结构在数论（如有限域在密码学中的应用雏形）、拓扑学（如基本群的概念引入）和线性代数（如模与向量空间的联系）中的潜在关联，拓宽学生的视野。 5. 面向对象： 本书主要面向数学、物理、计算机科学（特别是理论计算和密码学方向）等专业本科生的高年级课程，或作为研究生入门课程的参考用书。它要求读者已经掌握了扎实的微积分和线性代数基础。 --- 章节结构概览 第一部分：群论基础 (Group Theory Fundamentals) 第1章：代数结构与二元运算 集合与映射回顾 二元运算的性质：结合律、交换律、幺元与逆元 代数系统的初步概念 第2章：群的定义与基本性质 群的公理化定义与简单例子（加法群、乘法群、对称群 $S_n$） 子群、陪集与拉格朗日定理 循环群与生成元 第3章：正规子群与商群 正规子群的等价定义与性质 商群（因子群）的构造与性质 同态与同构：同态基本定理 第4章：群的作用与Sylow定理 群在集合上的作用、轨道与稳定子 Burnside引理的简单应用 Sylow定理的陈述、证明思想与推论 第二部分：环论基础 (Ring Theory Basics) 第5章：环的定义与基本概念 环、交换环、整环与域的定义 子环、单位、零因子 特殊环结构： $mathbb{Z}$, $M_n(F)$, $F[x]$ 第6章：理想与商环 理想的定义与性质，主理想与生成理想 商环的构造与性质，环同态基本定理 极大理想与素理想的概念及其在判断域上的作用 第7章：特殊类型的环 欧几里得整环的定义与性质 主理想域（PID）与唯一因子域（UFD）的相互关系 在 $mathbb{Z}[i]$ 和 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中的例子辨析 第三部分：域论与域扩张 (Field Theory and Field Extensions) 第8章：域的扩张 域扩张的定义，扩张次数 $[E:F]$ 代数元、超越元与域的代数扩张 最小多项式与代数扩张的有限性 第9章：正规扩张与可分扩张 正规域扩张的性质与定义 可分扩张的概念，特征为零域的可分性 伽罗瓦扩张的引入与基本性质 --- 作者简介 张伟，著名代数学家，国内多所重点大学的客座教授，在抽象代数、表示论领域有深入研究，发表多篇高水平学术论文。 李明，资深数学教育工作者，长期从事高等代数和近世代数的教学与教材编写工作，对如何清晰传授抽象概念具有丰富经验。 王芳，博士，副教授，专注于代数几何和数论方向，本书中关于域论和伽罗瓦理论的基础部分由其主导撰写和修订。 本书的编写团队秉持严谨治学的态度，力求为读者提供一本既能打下坚实理论基础，又具有高度可读性的现代代数教材。我们相信，《现代高等代数：群、环与域基础教程》将成为读者探索抽象代数世界的得力助手。
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