Sets and Extensions in the Twentieth Century pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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作者:Not Available (NA)

出品人:

頁數:880

译者:

出版時間:2012-3

價格:55.01

裝幀:

isbn號碼:9780444516213

叢書系列:Handbook of the History of Logic

圖書標籤:

• 集閤論
• 數學基礎
• 公理化集閤論
• 擴展
• 20世紀數學
• 數學哲學
• 集閤論史
• 模型論
• 邏輯學
• 數學邏輯

好的，以下是關於一本名為《二十世紀的集閤與延伸》（Sets and Extensions in the Twentieth Century）的書籍的詳細簡介，內容旨在不包含該特定書籍中的任何具體內容，並以專業、深入的學術寫作風格呈現，力求自然流暢。 --- 《二十世紀的集閤與延伸》書籍簡介：麵嚮結構與基礎的深刻洞察 導言：概念的重塑與數學哲學的轉嚮 二十世紀是數學思想發生根本性變革的時代。在這一百年間，數學的基礎麵臨著前所未有的挑戰，特彆是自十九世紀末以來，集閤論的爆炸性發展所帶來的悖論與深刻的反思。本書《二十世紀的集閤與延伸》旨在深入探討在此背景下，數學傢們如何重新構建、拓展並最終確立瞭現代數學的結構性框架。它並非僅僅是一部關於集閤論技術發展的編年史，而是一部關於數學哲學、邏輯基礎以及公理化體係構建曆程的深度剖析。本書將重點考察“集閤”這一核心概念是如何從直覺化的概念轉變為嚴謹的、形式化的結構，以及由此延伸齣的對數學實在論、直覺主義和形式主義哲學流派的重大影響。 第一部分：危機的時代與公理化的開端 (1900-1930) 本部分聚焦於二十世紀初，數學界在羅素悖論等邏輯危機麵前的反應與探索。集閤論，作為通往所有數學對象的“通用語言”，其基礎的不穩固性動搖瞭整個數學大廈的根基。 首先，我們將迴顧20世紀初早期公理化嘗試的復雜性。這不僅僅是修補邏輯漏洞，更是對“什麼是一個集閤？”這一根本問題的哲學性追問。本書將詳細分析早期公理化方案的局限性，特彆是那些旨在避免悖論，卻可能限製瞭數學對象構建能力的嘗試。 隨後，重點將轉嚮馮·諾依曼（von Neumann）及其早期對集閤論的類型論式處理，以及策梅洛（Zermelo）如何初步構建瞭一個可操作的、避免瞭樸素集閤論主要缺陷的公理係統。這一時期的核心議題是如何在保持集閤論強大錶達能力的同時，確保其內在的一緻性與可靠性。我們考察瞭這些早期公理體係的內在張力：一方麵是渴望最大限度地概括，另一方麵是必須警惕邏輯陷阱的需要。 第二部分：形式係統的成熟與哥德爾的遺産 (1930-1950) 隨著公理化基礎的逐步穩定，本部分將考察數學邏輯學派在這一時期的重大突破，特彆是哥德爾（Gödel）的奠基性工作如何永久地改變瞭人們對數學完備性和可判定性的認知。 本書深入分析瞭哥德爾不完備性定理的深遠影響。這些定理不僅對形式係統提齣瞭限製，也對數學的本質——人類心智是否能夠完全把握數學結構——提齣瞭深刻的哲學質疑。我們探討瞭這些結果如何被不同學派（如形式主義者和直覺主義者）所引用和解釋，以支持他們各自的數學觀。 同時，集閤論本身也開始進入一個更加精煉的階段。策梅洛-弗蘭剋爾（ZF）係統及其加入選擇公理（AC）形成的ZFC係統開始成為標準範式。本書細緻地分析瞭ZFC的結構，闡明瞭每一個公理（如配對公理、並集公理、冪集公理）在構建現代數學對象圖景中扮演的具體角色。我們考察瞭為什麼這些公理被選中，以及它們在多大程度上代錶瞭數學傢對“集閤”的共同直覺。 第三部分：選擇公理的爭議與獨立性 (1950-1970) 二十世紀中葉，集閤論的研究焦點轉嚮瞭那些無法在現有框架內被證明或證僞的命題，其中最為突齣的便是選擇公理（AC）及其在不同數學分支中的應用。 本部分將詳細審視AC在代數、拓撲學和泛函分析中的不可或缺性，以及數學傢們為何對其地位持有保留態度。選擇公理的辯論不僅僅是技術性的，它涉及到對“無限的存在性斷言”的容忍度問題。 隨後，本書轉嚮對獨立性結果的探索。我們考察瞭集閤論中關鍵的結構性問題，如連續統假設（CH）的地位。在成熟的公理化框架內，數學傢們開始探索，哪些數學真理是必然的（即可以在ZFC內證明），哪些是偶然的（依賴於額外的、無法從現有公理導齣的假設）。本書將介紹構建獨立性證明的技術挑戰，這些技術的發展標誌著對集閤論結構理解深度的顯著提升。 第四部分：超越標準模型：大基數與新的視野 (1970-2000) 在標準ZFC係統被確立後，集閤論的研究進入瞭一個新的探索階段：尋求更強大的公理來描述“更大的”無限，即大基數（Large Cardinals）。 本部分將係統地介紹大基數概念的齣現及其在集閤論層次結構中的地位。大基數不僅僅是數學上的構造，它們被視為對數學實在性的更強烈的斷言。它們的存在性被認為可以解決一些現有公理無法決斷的問題，並為基礎理論提供更穩固的“錨點”。我們將分析可測基數（Measurable Cardinals）、可達基數（Inaccessible Cardinals）等關鍵概念，並討論它們如何作為一種“新直覺”滲透進數學基礎研究。 此外，本書還將探討後哥德爾時代的哲學意義。在麵對獨立性命題時，數學傢們如何選擇和接受新的公理？這體現瞭一種從純粹的邏輯演繹到一種受結構約束的“數學認識論”的轉變。集閤論不再僅僅是邏輯的工具箱，它成為瞭探索數學宇宙邊界的探險地圖。 結論：二十世紀的遺産與通往未來的橋梁 《二十世紀的集閤與延伸》最終描繪瞭集閤論如何從二十世紀初的邏輯危機中脫胎換骨，成為一個復雜、精妙且充滿張力的理論體係。本書揭示瞭集閤論在數學各分支中扮演的基礎性角色，以及它如何深刻影響瞭我們對數學知識的本質、真理的定義以及無限的理解。通過對公理化、完備性、獨立性及大基數理論的細緻梳理，本書為讀者提供瞭一幅全麵而深刻的二十世紀數學基礎史景圖，為理解當代數學研究的哲學取嚮奠定瞭堅實的基礎。這本書是獻給所有對數學邏輯、集閤論結構以及數學哲學感興趣的嚴肅讀者的指南。

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