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出版者:

作者:Aufmann, Richard N.

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页数:0

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价格:141.56

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isbn号码:9780618676637

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• 几何
• 三角学
• 算术
• 预备课程
• 高等教育

深入剖析高等代数与离散结构：面向工程与科学研究的经典指南 图书名称：Advanced Algebraic Structures and Discrete Mathematics for Engineering and Scientific Computing 目标读者： 本科高年级及研究生，专注于数学、物理、计算机科学、工程学以及数据科学领域的学习者和研究人员。 字数： 约1500字 --- 内容概述 本书《高等代数结构与工程及科学计算中的离散数学》并非对基础算术或入门级微积分的重复介绍，而是致力于构建读者在处理复杂系统、算法设计和理论建模时所必需的深层数学框架。全书的核心目标是弥合纯粹的数学理论与尖端的应用实践之间的鸿沟，通过对抽象代数概念的严格论证，结合离散数学在计算科学中的实际部署，为读者提供一套强大的分析工具箱。 本书的结构分为两大紧密联系的部分：第一部分：抽象代数基础与应用，侧重于群论、环论、域论的结构性理解；第二部分：计算导向的离散数学，重点探讨图论的高级应用、组合优化以及有限域上的代数结构。 第一部分：抽象代数基础与应用 (Foundations of Abstract Algebra and Applications) 本部分将带领读者超越线性方程组的范畴，进入代数结构本身的研究领域，探究数学对象的内在对称性和组织性。 第一章：群论的拓扑与几何视角 本章从变换群（Transformation Groups）的角度切入，而非传统的置换群。我们将深入探讨李群（Lie Groups）的预备概念，特别是与连续对称性相关的背景知识，尽管不进行深度分析，但旨在建立其与几何操作的直观联系。重点内容包括： 同态与同构的范畴论基础视角： 强调映射的结构保持性，而非仅仅数值的对应。引入商群（Quotient Groups）的构造，并详细论证正规子群的关键作用，使用实例包括布里索夫群（Burnside's Lemma）在计数问题中的应用，但着重于其群论证明的优雅性。 Sylow 定理的证明及其在有限群分类中的启示： 侧重于Sylow定理的代数构造过程，并探讨其如何限制了可能的群结构。此处的讲解旨在为编码理论中使用的有限域上的群结构做铺垫。 群作用（Group Actions）与轨道-稳定子定理的深入应用： 不仅限于简单的几何计数，而是将其应用于化学键的对称性分析和晶格结构的描述，体现群论作为结构化语言的威力。 第二章：环、域与模的结构深度挖掘 本章从群论的经验中提炼出更丰富的代数结构——环。 唯一分解整环 (UFD) 与主理想域 (PID) 的严格区分： 详细分析了欧几里得整环（Euclidean Domains）作为PID的充分条件，并通过深入分析高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和多项式环 $F[x]$ 来巩固这一理解。 域的扩张（Field Extensions）与伽罗瓦理论的理论前奏： 聚焦于构造有限域 $mathbb{F}_{p^n}$。我们将详细阐述最小多项式（Minimal Polynomials）的构造，并解释如何利用这些扩张来证明某些几何问题（如化圆为方）的不可能性，重点在于理解域扩张的次数如何影响其代数性质。 模论的初步探索： 将群和环的概念推广到模（Modules）上，作为向量空间的更一般形式。这为后续学习线性代数中关于自由模和挠模（Torsion Modules）的概念打下严谨的代数基础。 第二部分：计算导向的离散数学 (Computationally Oriented Discrete Mathematics) 第二部分将理论代数与计算的实际需求相结合，侧重于那些在算法设计、网络分析和数据安全中起到决定性作用的结构。 第三章：图论的高级结构与算法设计 本章超越了基础的连通性和树结构，进入了更具复杂性的图论领域。 平面图、对偶图与嵌入问题： 讨论图如何被嵌入到不同的曲面上（如球面、环面），并利用Kuratowski定理来识别非平面图的拓扑结构。这与拓扑数据分析（TDA）中的基础概念有直接关联。 流网络、割与匹配理论的对偶性： 深入研究最大流-最小割定理的代数证明，并探讨其在网络流优化、资源分配问题中的精确建模。本节还将介绍更复杂的匹配问题，例如加权二分图上的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）的代数基础。 代数图论（Algebraic Graph Theory）： 引入拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）及其特征值（Spectrum）。解释谱图论如何通过矩阵的性质来揭示图的连通性、划分（Graph Partitioning）和扩展器（Expanders）的性质，这对于设计高效的并行算法至关重要。 第四章：组合结构、编码与有限域的实际部署 本章是代数与计算交叉点的核心，聚焦于如何利用有限结构进行信息编码和验证。 组合构造与生成函数的高级技术： 不仅限于简单的排列组合，而是侧重于使用指数生成函数和狄利克雷生成函数来解决复杂的非重叠计数问题，并探讨其在概率分析中的应用。 代数编码理论（Algebraic Coding Theory）： 将第二章构建的有限域知识直接应用于纠错码。详细分析汉明码（Hamming Codes）和BCH码的构造原理，展示如何利用域上的多项式代数来设计能够自动检测和纠正传输错误的系统。重点讲解了伴随矩阵（Parity-Check Matrix）和伴随多项式（Syndrome Polynomial）的计算过程。 有限域上的二次型与椭圆曲线预备： 简要介绍有限域上二次方程的研究，并作为引入椭圆曲线密码学（ECC）的代数前奏。强调在有限域上定义的结构如何保证了公钥密码系统的计算可行性和安全性基础。 本书的独特价值 本书旨在培养读者将高阶数学概念视为“工具”而非“障碍”的思维模式。每一章节的论证都保持数学上的严谨性，但同时穿插了源自优化理论、网络科学、信息论和计算复杂性的实例。读者将学会如何利用群的对称性来简化复杂的优化目标，利用图谱的谱特性来加速大规模数据的聚类，以及利用有限域的代数封闭性来构建不可破解的数字签名方案。本书对于那些需要建立坚实数学基础以应对未来研究挑战（如量子计算、高级机器学习模型的可解释性、或复杂系统建模）的专业人士而言，是不可或缺的参考资料。

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这本书的封面设计着实令人眼前一亮，色彩搭配既专业又不失活力，那种沉稳的蓝色调配上清晰的白色字体，立刻就给人一种可靠、易于亲近的感觉。我是在寻找一本能够系统梳理基础代数和几何概念的教材时偶然发现它的。坦白说，我之前对数学的恐惧感是很深的，总觉得那些公式和定理像是天书一样遥不可及。然而，拿到这本书后，我发现它采用了非常友好的叙事方式来介绍复杂的数学概念。举例来说，在讲解分数运算的那一章，作者不仅仅是给出了运算规则，而是通过一些非常贴近日常生活的场景，比如分享披萨或者计算食谱的用量，来帮助我们理解为什么要那样操作。这种“情境导入”的方法，极大地降低了我的心理门槛。我特别欣赏它在每一章节末尾设置的“概念回顾”和“自我检测”部分，它们结构清晰，能让我迅速回顾本章核心知识点，并且自我检测的题目难度梯度设计得非常合理，从基础应用到稍微需要转弯思考的题目都有覆盖，真正做到了学完就能检验掌握程度，而不是让人一头雾水。

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我对这本书的章节逻辑组织方式印象极其深刻，它给人的感觉就像是一位经验丰富的老教授在耐心地引导你登山。从最基本的算术、百分比开始，它非常自然地过渡到变量、方程和不等式。这种渐进式的结构确保了任何背景的学生都不会感到“知识断层”。举个例子，当它引入代数概念时，作者会反复使用前面学过的分数运算的例子，将旧知识无缝嵌入新框架中，让你清晰地意识到，新的数学工具是如何解决旧问题的，而不是凭空出现的。这种知识点的“编织”技术，使得我在后续学习新章节时，总能找到可以参考和借鉴的旧知识点作为基石。这种严密的内部联系，让整个学科体系显得非常和谐和统一，而不是零散知识点的堆砌。对于那些希望建立起稳固数学基础的人来说，这种结构上的严谨性是无可替代的。

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这本书的排版和装帧质量简直是业界良心，拿到手里就能感觉到分量和厚实感，这对于需要经常翻阅和做笔记的学生来说太重要了。纸张的质地非常好，墨水清晰不反光，长时间阅读眼睛也不会感到特别疲劳。我尤其赞赏的是它在插图和图示方面的用心。很多数学书的图示都非常抽象和刻板，但这本书里的视觉辅助材料，比如那些三维图形的展开图或者函数图像的描绘，都做到了既精确又直观。例如，在介绍向量和矩阵的基础知识时，它用非常细腻的色彩区分了不同维度的箭头和坐标系，这比单纯看文字描述要有效率得多。更别提那些“历史角落”的小插边栏，虽然不是考试重点，但里面穿插着一些数学家的生平轶事和某个定理的发现过程，这让原本枯燥的数学学习过程，有了一种人文历史的厚重感，让人觉得数学是活生生的知识体系，而非冷冰冰的工具。这使得我在学习过程中，偶尔会因为一个小故事而对接下来的内容产生更大的好奇心。

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这本书的语言风格非常适合非数学专业背景的读者，它摒弃了那种冗长、充满术语的学术腔调，转而采用了一种鼓励和对话式的语调。阅读时，常常感觉不像是在阅读一本教科书，更像是在听一位耐心的导师讲解。例如，在解释某些定理的证明过程时，它会先提出一个核心的“为什么我们要证明这个？”的问题，抓住读者的好奇心，然后再一步步引导至结论，而不是直接抛出证明流程。这种“目的先行”的叙事手法，极大地提升了阅读的参与感和趣味性。此外，它对一些常见的误区也做了专门的标记和提醒，比如哪些地方是初学者最容易混淆的，提前给出预警，让我能够有针对性地去注意和避免这些陷阱。这种细致入微的关怀，让我在自学过程中感受到了极大的支持和鼓舞，感觉这本书真的是从读者的需求出发来编写的，充满了人文关怀。

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作为一本面向大学初学者的教材，这本书在习题设置上的广度和深度是极其令人称道的。我之前用过一些其他资料，要么题目太简单，做了等于没做，要么就是直接跳到高难度难题，让人望而却步。这本书的习题部分简直是为“循序渐进”四个字量身定制的。它通常会把每部分的练习题分成A、B、C三个难度等级。A级主要巩固刚刚学习的基础概念和公式的直接应用；B级开始引入稍微复杂一点的组合应用，要求你整合前后知识点；而C级，往往是那些需要用到前面好几章知识才能解决的综合题，但它们又不是那种刁钻的“怪题”，而是真正考验你对数学逻辑思维的构建能力。我发现，坚持做完一个章节的C级题后，我对该章节的理解深度会有一个质的飞跃。此外，书后附带的详细答案解析部分也做得非常到位，它不仅仅是给出了最终答案，很多关键步骤都有清晰的文字解释，这对我这种需要“对着答案看思路”的学习者来说，简直是救星。

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