Inverse Problems for Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Belov, Yurii Ya

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页数:211

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价格:$ 324.88

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isbn号码:9789067643580

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• Inverse Problems
• Partial Differential Equations
• PDEs
• Mathematical Physics
• Numerical Analysis
• Regularization
• Optimization
• Imaging
• Data Assimilation
• Ill-Posed Problems

数学分析基础：从实数到勒贝格积分的严谨构建 本书旨在为数学专业学生、物理学和工程学研究人员提供一套全面、严谨且深入的实分析和测度论基础。它不仅是通往泛函分析和概率论的桥梁，更是理解现代数学分析中各种高级工具和理论的基石。全书的叙述风格注重逻辑的严密性和概念的精确定义，避免了过于简化的直觉推导，力求在概念的形成和定理的证明过程中展现数学的内在美感。 第一部分：实数系统与拓扑预备 (Foundations of the Real Numbers and Topology) 本部分首先从集合论的视角出发，严谨地构建了实数系统 $mathbb{R}$。我们不直接依赖于几何直觉，而是通过戴德金截割或柯西序列的等价类来定义实数，这为后续的分析奠定坚实的逻辑基础。 第一章：集合论与序关系 集合的构造： 介绍集合的等价关系、划分、幂集以及笛卡尔积。 自然数与良序原理： 采用集合论的方法定义自然数集 $mathbb{N}$，并详细论证数学归纳法原理。 序关系与稠密性： 探讨有界、上确界（最小上界）和下确界（最大下界）的概念。重点阐述了实数系统的完备性公理，并证明了它与有界单调序列收敛定理之间的等价性。 区间与绝对值： 基于完备性公理，定义开区间、闭区间，并推导出三角不等式及其推广形式。 第二章：度量空间与拓扑基础 本章将分析研究的舞台从 $mathbb{R}^n$ 扩展到更一般的拓扑结构，为函数空间的研究做铺垫。 度量空间的引入： 定义度量（距离函数）及其性质。讨论开球、闭球、开集和闭集的概念。 拓扑空间的抽象： 从度量空间的结构中抽象出拓扑空间，定义邻域基、开集的公理化定义。 连续性与拓扑保持映射： 给出拓扑空间之间映射的严格连续性定义（原像下保持开集性），并讨论嵌入、商拓扑等构造。 紧致性： 深度探讨紧致性的概念，包括开覆盖定义、Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中的表达）以及紧致集的性质（如紧致子集的闭性与有界性）。 连通性： 引入连通空间的定义，讨论路径连通性，并分析实数区间作为连通集的特性。 第二部分：勒贝格测度论 (Lebesgue Measure Theory) 测度论是现代分析的灵魂。本部分的目标是构建一个比传统黎曼积分更强大、更灵活的积分理论——勒贝格积分。 第三章：可测集与 $sigma$-代数 可测集的目标： 解释为什么需要超越区间来定义“长度”（测度），引出 $sigma$-代数和 $sigma$-代数生成元的概念。 勒贝格可测集： 严格定义勒贝格可测集，证明勒贝格可测集的代数结构（$sigma$-代数性质）。 外测度与Carathéodory扩张定理： 介绍外测度的概念，并利用 Carathéodory 定理来构造和证明勒贝格测度是唯一满足特定性质的测度。 可测集的性质： 讨论可测集的拓扑性质，例如可测集的稠密性，以及有界可测集与紧集的关系。 第四章：可测函数与积分的构建 可测函数： 定义可测函数，证明简单函数是可测函数的基础，并展示连续函数、单调函数与可测性的关系。 简单函数的积分： 定义简单函数的勒贝格积分，并证明其在线性和非负性上的优良性质。 一般非负函数的积分： 利用递增逼近定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）将简单函数的积分推广到一般非负可测函数。 一般可测函数的积分： 利用正负部分分解，定义一般可测函数的积分，并讨论积分的线性、单调性以及积分的绝对可积性概念。 第三部分：积分的收敛性与积分技巧 (Convergence Theorems and Integration Techniques) 本部分聚焦于现代分析中最核心的工具——控制收敛定理，这些定理极大地拓宽了可交换求极限和积分运算的范围。 第五章：核心收敛定理 Fatou 引理： 详细阐述 Fatou 引理的意义及其与 MCT 的区别。 占支配收敛定理 (Dominated Convergence Theorem, DCT)： 这是本章的重中之重。详细证明 DCT 的条件（存在一个可积的支配函数），并提供多个应用实例，如傅里叶级数和微分方程中的应用背景。 积分序列的极限操作： 比较 MCT、Fatou 引理和 DCT 的适用范围，强调在实际问题中选择正确工具的重要性。 第六章：$L^p$ 空间与基本不等式 $L^p$ 范数的定义： 定义 $L^p(mu)$ 空间，并讨论其作为函数空间的结构。 三角不等式（Minkowski 不等式）： 严格证明 Minkowski 不等式，展示 $L^p$ 空间满足三角不等式，从而构成一个赋范向量空间。 Hölder 不等式： 证明 Hölder 不等式，这是处理乘积函数积分时的关键工具，并分析共轭指数的概念。 完备性简介： 简要介绍 $L^p$ 空间（对于有限测度空间）的完备性（即它们是巴拿赫空间），为后续泛函分析的学习打下基础。 第四部分：积分的变换与泛函分析的萌芽 (Transformations and Introduction to Functional Analysis) 本部分探讨积分理论在空间变换下的行为，并引入更广阔的分析视野。 第七章：积函数与 Fubini-Tonelli 定理 乘积测度和乘积空间： 介绍在笛卡尔积空间上构造测度的必要性，并定义乘积 $sigma$-代数。 Tonelli 定理： 阐述 Tonelli 定理，即当被积函数非负时，可以交换两次积分的次序。 Fubini 定理： 阐述 Fubini 定理，即当被积函数绝对可积时，可以交换积分次序，并强调绝对可积性的必要性。 应用： 阐释 Fubini 定理在计算多重积分和理解概率论中联合分布函数时的强大作用。 第八章：测度与函数空间的对偶性（初步） Riesz 表示定理（初步）： 介绍有限测度空间上 $L^1$ 空间的对偶空间与 $L^infty$ 空间的联系，为读者建立积分理论与线性泛函之间的初步认识。 函数空间的嵌入： 讨论 $C_c(X)$（紧支撑连续函数空间）在 $L^p$ 空间中的稠密性，以及它们与测度之间通过积分（黎曼-斯蒂尔切斯积分的推广视角）建立的联系。 全书的结构层层递进，从最基本的实数系统，到抽象的拓扑概念，再到核心的勒贝格积分理论，最终触及到现代分析学的前沿领域——函数空间理论。每章后的习题设计精妙，旨在检验学生对概念的理解和对证明技巧的掌握，而非简单的计算能力。本书假定读者已经掌握了标准的单变量和多变量微积分知识，但所有分析中的核心论证均从头开始，确保了知识体系的完整性和自洽性。

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这本书的书名《Inverse Problems for Partial Differential Equations》本身就充满了吸引力，它暗示了一种深入探究未知、从结果推导原因的数学方法。我的脑海中浮现出这样一幅画面：书中充满了各种挑战性的问题，例如如何根据物体的外形推断其内部的材料分布，或者如何通过观测到的电磁场来判断隐藏的电荷源。我期待这本书能够提供一套系统性的框架，来理解和解决这些“反向”的数学难题。偏微分方程作为描述物理世界运行规律的基本语言，在逆问题中扮演着核心角色。我好奇书中会如何阐释PDEs的解与观测数据之间的复杂关系，以及如何利用数学工具来“解耦”这些关系。我希望这本书能够深入探讨逆问题的理论基础，例如解的存在性、唯一性以及稳定性问题。此外，我非常希望书中能够包含一些关于数值计算方法的讨论，因为在许多实际应用场景中，我们往往需要依赖数值方法来获得近似解。如果书中能够提供一些关于算法效率、收敛性分析，以及如何处理大规模数据的策略，那将是极大的裨益。

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我拿到《Inverse Problems for Partial Differential Equations》这本书时，内心充满了期待，这本书的书名本身就宣告了它将带领我们踏上一段探索数学未知领域的旅程。我猜想，这本书不仅仅是枯燥的公式堆砌，更会是一场关于“如何从结果追溯原因”的深刻讨论。想象一下，我们观察到海面上的波纹，这本书会不会告诉我们如何推断出引发这些波纹的海底地形？或者，我们看到一张X光片，它能否帮助我们理解如何从中重建出人体的三维结构？这类“逆问题”在很多科学和工程领域都至关重要，而偏微分方程（PDEs）又是描述自然现象的强大工具。我期待这本书能够清晰地阐释PDEs在逆问题中的角色，以及解决这些问题所面临的数学挑战。或许书中会介绍一些经典的逆问题，并对它们的数学模型、解的存在性、唯一性和稳定性进行深入的分析。我尤其希望能看到一些关于数值方法的讨论，因为在实际应用中，精确的解析解往往难以获得，我们需要依靠强大的数值算法来近似求解。这本书如果能提供一些关于算法设计的原则和具体实现的例子，那将是极大的收获。

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《Inverse Problems for Partial Differential Equations》这个书名，在我看来，就如同一个数学的“侦探故事”。它不是直接告诉你“是什么”，而是引导你去“发现是什么”。我设想这本书会从一个具体的、易于理解的物理现象出发，例如某种信号的衰减或扩散，然后引出与之相关的偏微分方程。但更吸引我的是，它会反过来，从观测到的信号特征入手，去推断出背后的方程参数，甚至是方程本身的结构。这种“逆向思维”是解决许多实际问题的关键，例如我们如何通过测量地震波来了解地球内部的构造，或者如何通过分析医学影像来诊断疾病。我期待书中能够深入讲解这些逆问题所共有的数学特性，例如它们的“不适定性”（ill-posedness），即微小的输入扰动可能导致输出解的巨大变化，以及作者将如何介绍和分析各种克服这种不适定性的方法。这可能包括正则化技术、迭代算法，甚至是一些基于最优化理论的策略。如果书中能够包含一些伪代码或者清晰的算法描述，让读者能够理解其实现思路，那就更好了。

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《Inverse Problems for Partial Differential Equations》这本书的书名，在我看来，就像一扇通往解决现实世界复杂问题的数学之门。它不是直接告诉你公式是什么，而是引导你去探索“为什么”以及“如何”。我设想这本书会揭示，如何从一些表面上看起来无关紧要的观测数据中，推导出驱动这些现象的深层数学模型，即偏微分方程。这在很多领域都有着不可估量的价值，比如在环境科学中，我们可以通过观测大气污染物的扩散模式，来反推其污染源的精确位置和排放量；在材料科学中，我们可以通过测量物体在外力作用下的形变，来推断其内部的应力分布。我期待这本书能够深入浅出地讲解逆问题的数学框架，特别是如何处理那些“病态”的问题，即微小的测量误差可能会导致解产生巨大的偏差。我好奇书中会介绍哪些有效的算法来稳定化这些逆问题，是否会涉及一些贝叶斯方法、统计推断，或者其他先进的数值技术。如果书中能够提供一些开源代码或者公开的数据集，让读者能够亲自动手实践，那将极大地增强学习效果。

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这本书的书名《Inverse Problems for Partial Differential Equations》让我瞬间产生了浓厚的兴趣，即便我并不是这个领域的资深研究者，但其题目本身就充满了挑战与神秘感。我的想象中，这本书必然深入浅出地剖析了那些看似“逆向”的数学难题，比如如何从观测到的现象反推出其背后驱动的微分方程，或者如何在已知部分信息的情况下重建完整的物理场景。我期待它能够用清晰的逻辑、严谨的数学推导，一步步地引导读者理解逆问题的本质，以及它在诸多科学与工程领域中的重要应用，例如医学成像（CT、MRI）、地球物理勘探、无损检测等等。我设想书中会包含大量的实例，通过这些生动具体的例子，让抽象的数学概念变得触手可及，让读者能够体会到理论与实际的紧密联系。也许书中还会涉及一些前沿的研究方向和未解决的难题，激发读者进一步探索的欲望。我尤其好奇作者会如何处理逆问题的“病态性”——即微小的观测误差可能导致巨大的解的不确定性，以及如何设计稳定有效的算法来克服这一挑战。总而言之，这是一本能够拓展我思维边界，提升我解决复杂问题能力的宝藏。

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