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出版者:

作者:Bochnak, J./ Coste, M./ Roy, M. F.

出品人:

页数:439

译者:

出版时间:

价格:1536.00

装帧:

isbn号码:9783540646631

丛书系列:

图书标签:

• Real algebra
• Algebraic geometry
• Real varieties
• Polynomial equations
• Semi-algebraic geometry
• Model theory
• Quantifier elimination
• Optimization
• Complexity
• Computational algebra

经典代数几何探微：欧几里得空间上的拓扑与度量结构 本书聚焦于超越传统复代数几何范畴的数学分支，深入探讨实数域 $mathbb{R}$ 上的代数结构所诱导的拓扑、几何与分析性质。它提供了一套严谨而全面的框架，用于理解和分析由实多项式方程定义的集合——实代数集（Real Algebraic Sets）的内在属性。 --- 第一部分：基础构建与拓扑景观 本书的开篇奠定了整个研究的基石，从最基本的集合论和拓扑学概念出发，但迅速聚焦于与实代数紧密相关的结构。 第一章：实数域的特殊性与有序拓扑 本章首先回顾了实数域 $mathbb{R}$ 作为有序域的独特地位，并探讨了这种“序”如何影响其上的代数几何。我们详尽考察了 $mathbb{R}^n$ 上的子射影拓扑（Zariski Topology for the real case）与欧几里得拓扑之间的关系。虽然 Zariski 拓扑对于研究代数结构的性质至关重要，但我们强调，在实几何中，欧几里得（紧致性、完备性）拓扑的性质往往更具决定性。重点分析了实代数集在欧几里得拓扑下封闭、有界集的性质，这是构建全局理论的前提。 第二章：实代数集与皮卡德-莱夫谢茨理论的实版本 本章引入核心研究对象：由一组实多项式方程 $P_1(x) = 0, dots, P_m(x) = 0$ 定义的零点集 $V(P_1, dots, P_m)$。我们详细区分了实代数集（Real Algebraic Sets）与代数簇（Algebraic Varieties）的区别，尤其关注不可约性（Irreducibility）在实数域上的判定。 随后，我们将视角转向实曲面的局部拓扑性质。通过对复代数几何中经典方法的重构，我们探讨了光滑点附近的局部结构。在光滑点附近，实代数流形（Real Algebraic Manifolds）局部同胚于 $mathbb{R}^k$。我们详细分析了实维数（Real Dimension）的概念及其与复维数的关系。 第三章：拓扑不变量：欧拉示性数与连通性 在实代数集上，许多拓扑不变量可以被精确计算，这得益于其“刚性”的代数结构。本章重点探讨了 Togni-Lazzerini 公式（一个基于多项式零点集合上奇点的计算方法，区别于经典Hodge理论）的实数域版本。 我们计算了紧致实代数集（如闭合的实曲线或高维闭合流形）的欧拉示性数（Euler Characteristic）。这部分内容深刻地展示了代数结构如何限制了拓扑形状——例如，一个由偶数次多项式定义的闭合曲面，其欧拉示性数必须满足特定的奇偶性限制。此外，我们分析了实拓扑的连通分支、基本群以及 Betti 数的确定性。 --- 第二部分：度量、维度与分离性 本部分将超越纯粹的拓扑结构，引入度量、分离性以及分析工具，以更精细地刻画实代数集的几何形态。 第四章：度量几何的引入：最小范数与曲率估计 虽然实代数集本身没有内在的度量，但它们嵌入在 $mathbb{R}^n$ 中，因此可以赋予欧几里得度量。本章研究了 “最紧致嵌入” 的概念，即如何找到一个合适的嵌入维度 $N$，使得实代数集 $X subset mathbb{R}^n$ 可以通过一个“最小范数”的映射 $phi: X o mathbb{R}^N$ 来表示，从而优化其几何形状的感知。 我们引入了 曲率的代数限制：对于由特定次数的多项式定义的闭合实流形，其平均曲率（Mean Curvature）不可能无限小，这为研究这些空间的“扁平化”程度提供了代数约束。 第五章：实数上的函数与实零点定理的推广 实代数几何的核心挑战之一是 “零点存在性” 问题。本章细致讨论了 席瓦涅茨（Schwartz-Narvaez）定理 的推广形式，该定理提供了关于实多项式方程组在特定区域内有解的充要条件，这些条件往往依赖于 希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的实数域对应物——雅可比零点定理。 我们深入探讨了 “实代数函数场”（Real Function Fields）的构造，以及如何利用这些函数场的性质来推断原代数集上的全局解析行为。特别地，分析了代数函数在实曲线上如何“冻结”或“循环”。 第六章：半代数集与分离性理论 本章将研究范围扩展到 半代数集（Semi-algebraic Sets），即由多项式不等式定义的集合。这是实代数几何区别于复代数几何最显著的领域之一。半代数集是欧几里得拓扑下的闭集，其性质更接近于传统的拓扑空间。 我们详细阐述了 Oleinik-Petrovskaya 分离定理 的几何含义：在半代数集上，任何连续函数都可以被“逼近”由多项式函数组成的子空间，且这种逼近的精度可以由集合的复杂度（即多项式的次数和变量的数量）控制。这为数值方法和近似理论奠定了坚实的理论基础。 --- 第三部分：边界的分析与全局结构 最后一部分关注实代数集边界的复杂性，以及如何利用全局代数结构来描述非平凡的几何形状。 第七章：有界实代数集的同位性与拓扑分解 对于 $mathbb{R}^n$ 中有界的实代数集 $X$，我们可以研究其在无穷远处的行为，这通常通过 紧化（Compactification） 技术实现。与复代数几何的普洛米（Projective）紧化不同，我们关注 帕拉-迪卡（Parabola-Dica）紧化，它保持了实数域上的有序结构。 本章推导了有界实代数集可以被分解成若干个拓扑流形的并集，并讨论了如何通过考察定义多项式的 “绝对最大值” 所在的层次来确定分解的复杂性。 第八章：实模空间与稳定性问题 本章触及了更前沿的课题：实代数空间的 模空间（Moduli Spaces）。我们考察了具有特定拓扑或几何性质的实代数流形的“形变空间”。与复代数中模空间通常是复流形不同，实模空间往往具有复杂的混合拓扑结构。 重点讨论了 “实稳定性”：一个实代数结构在形变过程中保持其关键拓扑不变量（如 Betti 数）的条件。这涉及到对 “高阶奇点” 的分析，即那些在复化（Complexification）后才显现为简单奇点，但在实数域上却具有复杂分支结构的奇异点。 --- 总结： 本书并非复代数几何的简单替代品，而是深入挖掘了实数域作为有序场所带来的独特几何限制与分析工具。它为几何学家、拓扑学家以及需要处理真实世界数据的分析工作者，提供了一套精确、具有内在一致性的理论框架，用以描述和量化实代数几何对象的复杂形态。通过对欧几里得拓扑、分离定理和实函数性质的严格分析，本书力求揭示实代数集合的本质几何结构。

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