Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Cantor, Georg

出品人:

页数:211

译者:Jourdain

出版时间:1955-6

价格:$ 14.63

装帧:

isbn号码:9780486600451

丛书系列:

图书标签:

• 数学史
• 集合论
• 超限数
• 康托尔
• 数学基础
• 逻辑学
• 数学哲学
• 经典著作
• 理论基础
• 数学分析

《超越无穷：跨越时代的思想旅程》 简介 在数学的浩瀚星空中，无穷一直是最令人着迷也最具挑战性的概念之一。自古希腊以来，哲学家和数学家们便不断 grappling with 这一模糊而又至关重要的概念，试图为其建立清晰的定义和严谨的逻辑框架。本书《超越无穷：跨越时代的思想旅程》并非一部严肃的数学专著，而是一次追溯无穷概念演进的引人入胜的叙事，它聚焦于那些塑造我们对无限理解的关键时刻、 seminal works 以及 pivotal figures，尤其侧重于早期跨越有限与无限鸿沟的探索，它们为后来建立严谨的超限数理论奠定了思想基石。 这本书将带领读者穿越时空，从古老的逻辑悖论出发，一路回溯至19世纪末20世纪初，那个数学领域风起云涌、思想爆炸的时代。我们将一同审视那些被历史长河淹没但却至关重要的早期尝试，它们或许并非拥有完整的公理体系，却勇敢地触碰到了无穷的边界，孕育了后来那些更加系统化的理论的萌芽。本书不会深入探讨超限数的具体公理、运算规则或复杂定理，而是旨在揭示隐藏在这些抽象概念背后的思想斗争、直觉飞跃以及哲学辩论，让读者领略到数学家们是如何一步步将看似不可驯服的无穷引入逻辑的殿堂。 内容概述 第一部分：思维的曙光——古老智慧中的无穷回响 旅程始于人类对数量的早期认知。本书将简要回顾古希腊数学中对无穷的初步思考，如芝诺的悖论。这些悖论虽然并非直接指向超限数，但它们深刻地揭示了运动、时间和空间中的无穷性所带来的逻辑困境，迫使人们开始反思有限与无限的界限。例如，阿喀琉斯追不上乌龟的悖论，虽然可以通过极限的观念来解决，但在当时却引发了深刻的哲学讨论，即便是最简单的运动也可能隐藏着无穷的分割。我们将探讨亚里士多德对“潜无穷”和“实无穷”的区分，这一区分在很长一段时间内影响了西方哲学和数学思想。亚里士多德认为，现实世界中存在的只能是“潜无穷”，即无限可分割，但永远无法达到一个“实无穷”的整体。这种观念在很大程度上阻碍了对实无穷的直接探索，并将数学家们的注意力引向了对有限性的深入研究。 第二部分：模糊的边界——19世纪早期对无限的初步探索 随着数学的发展，尤其是在微积分的建立过程中，无限的概念开始被更频繁地运用。柯西、阿贝尔等数学家在处理级数和极限时，尽管没有明确地定义超限序数，但他们实质上已经在使用一种“无穷大”的概念。本书将考察这些早期探索的特点，例如如何通过“趋向于无穷”来处理无法达到的无穷大。我们将看到，虽然这些方法在实践中非常有效，但其理论基础却显得不够稳固，容易产生一些悖论和模糊之处。例如，在处理发散级数时，不同的求和方法可能会得到不同的结果，这暴露了早期数学家在处理无穷序列和级数时面临的理论困境。这些困境促使人们思考，是否需要一种更系统、更精确的语言来描述无穷的“大小”和“顺序”。 第三部分：思想的先驱——孕育超限数理论的早期努力 进入19世纪末，数学家们开始更加系统地关注无穷这一概念。本书将重点介绍一些在超限数理论发展早期起到关键作用的思想家和他们的工作。这些人中的许多人，虽然最终的成果并非我们今天所熟知的康托尔的超限数理论，但他们的思考却为康托尔的出现铺平了道路。例如，一些数学家尝试对集合进行分类，并注意到不同“无穷”之间可能存在的差异。他们开始思考，是否存在不同“大小”的无穷？或者，无穷是否只是一个抽象的概念，而无法进行定量的比较？ 我们将审视一些早期的集合论的萌芽，以及数学家们在处理无限集合时的直觉和遇到的困难。例如，一个无限集合的子集是否可能与原集合本身“一样大”？在直觉上，这似乎是矛盾的，但数学家们开始通过一一对应（一一映射）的方式来探索无穷集合的“大小”。这种方法为后来康托尔的“基数”概念奠定了基础。我们也会看到，早期的一些数学家对于这种“反直觉”的结论感到困惑甚至排斥，但正是这种持续的探索和疑问，推动了数学思想的进步。 第四部分：洞见的火花——超越有限的初步尝试 在康托尔的理论正式提出之前，已经有一些数学家开始尝试将有限数系的结构推广到无穷。他们或许没有使用“超限数”这个术语，但他们的研究已经触及到了序数和基数的早期概念。本书将探讨这些“先驱者”的思路，例如他们是如何思考如何将自然数的顺序性推广到无穷。例如，一个无限的序列，其“尽头”是什么？它是否可以被看作是另一个“数”？ 我们将回顾一些关于“无穷集合的长度”或“无穷序列的终点”的早期讨论。这些讨论可能显得朴素，甚至有些猜测成分，但它们代表了人类在面对抽象概念时，试图通过类比和延伸来理解的努力。例如，一些人可能会思考，既然有1, 2, 3，那么是不是也应该有一个“无穷大”？这种朴素的想法，虽然不能直接构成严谨的理论，却反映了数学家们渴望将数学的概念体系完整化的愿望。 第五部分：哲学与数学的交织——关于实无穷的争论 在19世纪末，关于实无穷的存在性，在数学界和哲学界都引发了巨大的争论。本书将简要介绍这场争论的背景，例如直觉主义的兴起，以及他们对实无穷的质疑。我们将看到，将实无穷引入数学体系，并非一帆风顺，而是伴随着深刻的哲学思考和逻辑上的挑战。一些数学家认为，只有那些可以通过有限步骤构造出来的对象才是数学研究的对象，而实无穷则显得过于“形而上学”。 我们将探讨这些质疑声是如何影响数学界对无穷的态度的，以及数学家们是如何试图通过更严谨的定义和公理来回应这些质疑。这场争论，虽然未能完全阻止超限数理论的发展，但它促进了数学基础的深入思考，并促使数学家们更加重视数学证明的严谨性。 结语 《超越无穷：跨越时代的思想旅程》希望以一种引人入胜的方式，展现数学家们是如何在缺乏现成工具和明确指引的情况下，勇敢地探索未知的数学领域，尤其是如何一步步接近那个神秘而又至关重要的“超限数”概念。本书的目标是激发读者对数学史和数学思想的兴趣，理解那些看似抽象的数学概念背后，是人类智慧不断探索、突破和创新的光辉历程。它不是提供一个问题的答案，而是带领读者去感受提出问题、追寻答案过程中的曲折与精彩，领略数学发展过程中，那些“思想的火花”是如何在漫长的岁月中孕育、闪耀，并最终汇聚成照亮未来的光芒。这本书将让你看到，在那个将有限世界推向无限边界的时代，数学家们的每一次尝试，无论成败，都为我们今天所理解的数学宇宙，增添了不可或缺的一笔。

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Cantor Set真是pain in the ass，每次只要有关Cantor Set的题都要suffer

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