Tropical and Idempotent Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:G. L. Litvinov

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2009-1

价格:811.00 元

装帧:

isbn号码:9780821847824

丛书系列:

图书标签:

• Tropical mathematics
• Idempotent mathematics
• Matrix theory
• Optimization
• Combinatorics
• Algebra
• Semigroups
• Graph theory
• Mathematical physics
• Discrete mathematics

热带与幂等数学 引言 数学的广袤图景中，存在着一些看似离经叛道却又蕴含深刻思想的分支，它们挑战着我们对代数结构、运算和逻辑的传统认知。本书《热带与幂等数学》正是这样一部力图揭示这些前沿领域精髓的著作。它深入探讨了两个在现代数学研究中日益受到关注且相互关联的数学分支：热带数学（Tropical Mathematics）与幂等数学（Idempotent Mathematics）。这两者虽然各自拥有独特的数学根基和应用领域，但随着研究的深入，它们之间展现出的深刻联系与互补性也日益凸显。本书旨在为读者提供一个全面而系统的视角，带领他们探索这些非经典的代数结构，理解其基本概念、核心理论、重要工具以及在各个领域的广泛应用。 第一部分：热带数学的理论基石 热带数学，顾名思义，其核心思想建立在一类特殊的代数结构之上，这些结构与我们熟悉的实数域上的加法和乘法运算有着显著的区别。本书将从热带数学的最基本概念入手，循序渐进地构建起读者对这一领域的认识。 热带代数系统：我们将首先介绍热带代数的基本构成元素，即定义了“热带加法”和“热带乘法”的代数结构。在经典的数域中，加法满足结合律、交换律，并存在零元和逆元；乘法也同样具备这些性质。然而，在热带代数中，这些运算的行为模式被重新定义。例如，在最常见的“加法-乘法”热带代数（也称为(min, +) 半环或(max, +) 半环）中，“热带加法”通常对应于取最小值（或最大值），而“热带乘法”则对应于传统的实数乘法。我们将详细阐述这些运算的定义、性质（如结合律、交换律、分配律等），并探讨其与经典代数运算在形式上的相似性与实质上的差异。 热带半环与热带环：本书将深入介绍热带数学的核心代数结构——热带半环（Tropical Semiring）和热带环（Tropical Ring）。热带半环是一个集合，其上定义了两种运算，通常记为“⊕”和“⊗”，满足一系列特定的公理，例如“⊕”的交换律和结合律，“⊗”的结合律和对“⊕”的分配律，以及“⊕”的零元（或称单位元）和“⊗”的单位元（或称乘法单位元）的存在性。我们将讨论各种重要的热带半环，如(min, +)半环、(max, +)半环、(max, ×)半环、(min, ×)半环等，并分析它们的结构特点。在此基础上，本书还将介绍热带环的概念，它是在热带半环的基础上进一步要求“⊕”运算具有逆元。 热带矩阵：矩阵是线性代数中的核心工具，在热带数学中，矩阵运算也需要被重新定义以适应热带代数结构。本书将详细介绍热带矩阵的概念，包括热带矩阵的加法、热带矩阵的乘法（基于热带半环的运算）的定义，以及它们的性质。我们将探讨热带矩阵的行列式、逆矩阵、特征值等概念，并展示如何利用热带矩阵来解决一些经典代数问题，例如求解线性方程组。 热带多项式与热带代数方程：多项式是代数的重要组成部分。在热带数学的语境下，热带多项式是由热带变量和热带系数构成的，其求值运算遵循热带代数规则。本书将介绍热带多项式的定义、运算（加法、乘法）、根的概念，以及如何求解热带代数方程。这类方程的解法与经典代数方程有着截然不同的方法和思路。 热带几何：热带数学在几何学中也开辟了新的视角。本书将探讨热带几何的基本概念，例如由热带多项式定义的“热带簇”（Tropical Variety），以及它们在代数几何中的作用。热带几何为研究多项式方程组的解集提供了一种新的几何解释。 第二部分：幂等数学的理论基石 幂等数学，顾名思义，其核心在于研究具有“幂等性”运算的代数结构。幂等性是指一个元素经过运算后，其结果与元素本身相同，即 $x star x = x$。这一看似简单的性质，却能够导出丰富而深刻的数学理论。 幂等代数结构：本书将从幂等性出发，介绍各种幂等代数结构。我们将首先定义幂等二元运算，并在此基础上探讨各种幂等代数系统，如幂等半群（Idempotent Semigroup）、幂等群（Idempotent Group）、幂等格（Idempotent Lattice）等。特别地，我们将详细阐述幂等半群的结构，包括其与偏序关系的关系，以及各种重要的子类，如零幂等半群、完全幂等半群等。 幂等格理论：格（Lattice）是抽象代数中的一个重要概念，它是一种特殊的偏序集，其中任意两个元素都存在上确界（交）和下确界（并）。当格上的交和并运算都满足幂等性时，我们称之为幂等格。本书将深入探讨幂等格的性质、分类以及它们在不同数学领域中的应用，例如在序理论、集合论和逻辑学中的地位。 布尔代数与幂等性：布尔代数是具有两个元素的幂等代数系统，它在计算机科学、逻辑学和集合论中扮演着至关重要的角色。本书将介绍布尔代数的定义，并重点分析其幂等运算的性质。我们将探讨布尔代数中元素的“与”（AND）、“或”（OR）以及“非”（NOT）运算，并展示它们如何体现幂等性，以及如何在逻辑推理和数字电路设计中得到应用。 幂等算子：在函数分析和泛函分析领域，幂等算子（Idempotent Operator）是指满足 $P^2 = P$ 的算子。这类算子具有重要的几何和代数意义，例如它们在投影（Projection）的数学概念中起着核心作用。本书将介绍幂等算子的定义、性质，以及它们在向量空间分解、子空间投影等问题中的应用。 第三部分：热带与幂等数学的交叉与融合 本书的另一大特色在于，我们将重点分析热带数学与幂等数学之间深刻的联系与相互促进。尽管它们各自独立发展，但随着研究的深入，人们发现许多热带代数结构天然地具备幂等性，反之亦然。 幂等热带结构：许多在热带数学中出现的代数结构，例如(min, +)半环和(max, +)半环，本身就具有幂等的性质。我们将详细分析哪些热带代数结构天然地满足幂等性，并探讨这种幂等性如何简化某些热带数学的理论与计算。例如，在(min, +)半环中，元素x与自身的“热带加法”（取最小值）就是x本身，即 $x oplus x = x$。 幂等性在热带算法中的应用：幂等性为设计和分析热带算法提供了重要的理论基础。我们将展示幂等性如何影响热带矩阵的运算、热带代数方程的求解，以及如何优化算法的效率。例如，在某些热带算法中，重复应用某个运算并不会改变结果，这为算法的并行化和简化提供了可能。 热带数学对幂等理论的拓展：反之，热带数学的框架也为研究更广泛的幂等结构提供了新的视角和工具。通过将幂等代数结构嵌入到热带代数系统中，我们可以研究更一般化的幂等运算和更复杂的幂等代数模型。 具体应用案例分析：本书将通过具体的应用案例，来展示热带与幂等数学的交叉融合。这些案例可能涉及： 最短路径问题：在图论中，利用热带代数（特别是(min, +)半环）可以高效地求解各种最短路径问题，而幂等性在这里扮演着简化计算的关键角色。 排队论与排程问题：热带数学在分析排队系统、优化生产线排程等方面有着广泛的应用，幂等性可以帮助简化对系统状态演变的建模。 信号处理与控制理论：热带代数在这些领域提供了一种独特的代数框架，而幂等运算则有助于处理和简化复杂的信号和系统。 计算机科学中的应用：例如，在数据挖掘、机器学习、形式化验证等领域，热带与幂等数学的概念和方法都有着重要的应用价值。 结论 《热带与幂等数学》一书，旨在为数学研究者、学生以及对前沿数学领域感兴趣的读者，提供一份深入、详尽且富有启发性的导读。本书力求在严谨的数学理论基础上，辅以清晰的解释和丰富的示例，使读者能够逐步掌握热带数学和幂等数学的核心概念、基本工具以及它们之间迷人的内在联系。通过对这两个非传统数学分支的探索，我们不仅能够拓展对代数结构的认知边界，更能发现解决许多实际问题的全新视角和强大工具。本书不仅是一部知识的汇集，更是一次思维的启迪，期望能够激发读者在这些活跃的数学领域进行更深入的探索与研究。

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