Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Ismail, Mourad E. H.

出品人:

页数:726

译者:

出版时间:2009-8

价格:$ 94.92

装帧:

isbn号码:9780521143479

丛书系列:

图书标签:

• 正交多项式
• 经典正交多项式
• 量子正交多项式
• 特殊函数
• 数学分析
• 近似论
• 数值分析
• 理论物理
• 量子力学
• 组合数学

经典与量子正交多项式（一元） 本书深入探讨了在一元情形下，经典正交多项式和量子正交多项式的丰富理论及其在数学、物理和工程领域中的广泛应用。我们将首先聚焦于那些在数学分析中占据核心地位的经典正交多项式家族，随后将笔锋一转，揭示量子力学和相关领域中涌现出的量子正交多项式的独特属性和深刻含义。 第一部分：经典正交多项式 本部分致力于全面梳理和介绍经典的、在积分或求和意义下具有正交性的多项式集合。这些多项式家族不仅在理论数学中扮演着重要角色，也是理解许多数学分析工具的基础。 正交性的概念与性质： 我们将从正交性的基本定义出发，阐述在一个给定的区间和权重函数下，多项式序列如何满足正交关系。正交性意味着不同项的多项式内积为零，这一性质极大地简化了许多计算，并使得对函数进行展开成为可能。我们将探讨正交性的一些关键性质，例如伴随递归关系、微分方程的满足，以及它们在函数近似和插值中的作用。 经典正交多项式家族详解： 雅可比多项式 (Jacobi Polynomials)： 作为最一般的经典正交多项式，雅可比多项式具有两个任意正参数，并在一系列区间上正交。我们将详细介绍它们的定义、生成函数、递归关系，以及与超几何函数的紧密联系。此外，雅可比多项式在概率论（如Beta分布）和数论中也有重要的应用。 克拉夫楚克多项式 (Krawtchouk Polynomials)： 这是一类定义在有限集合上的离散正交多项式，与组合数学和编码理论息息相关。我们将探讨它们的离散正交性，与二项式分布的联系，以及它们在图论和组合设计中的应用。 海森堡多项式 (Heisenberg Polynomials) / 经典正交多项式的推广： 我们将讨论如何将经典正交多项式的概念推广，以包含那些在某些积分或求和意义下具有正交性的更一般形式的多项式。这可能包括对权重函数和正交区间的更灵活定义，为后续讨论量子正交多项式打下基础。 其他重要的经典家族： 除了上述核心家族，我们还将简要介绍其他一些著名的经典正交多项式，如勒让德多项式 (Legendre Polynomials)、切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials) (第一类和第二类)、拉盖尔多项式 (Laguerre Polynomials)、厄米特多项式 (Hermite Polynomials) 等。我们将阐述它们各自的特殊性、定义、基本性质，以及在物理学（如量子力学、波动方程）和工程学（如信号处理、数值积分）中的经典应用。例如，勒让德多项式是求解球谐函数的基础，厄米特多项式与量子谐振子的能级计算紧密相关。 经典正交多项式的生成函数与递归关系： 生成函数为多项式序列提供了一种紧凑的表示方式，并且与许多级数展开和恒等式密切相关。递归关系则允许我们高效地计算多项式序列中的任意一项，并建立不同项之间的联系。我们将系统地推导和分析这些重要的代数工具。 微分方程与特殊函数： 许多经典正交多项式是特定二阶线性常微分方程的解。理解这些微分方程以及它们与特殊函数（如超几何函数）之间的关系，有助于我们深入把握这些多项式的代数和分析性质。 函数近似与积分： 正交多项式在函数逼近理论中发挥着至关重要的作用。通过将任意函数展开为正交多项式的级数，我们可以有效地逼近该函数，并利用正交性简化系数的计算。此外，正交多项式也为数值积分（如高斯积分）提供了强大的框架，能够以极高的精度计算定积分。 第二部分：量子正交多项式 本部分将把目光转向新兴的量子领域，探讨在量子力学、量子信息论以及相关代数结构中出现的“量子”正交多项式。这些多项式通常在非对易代数或量子群的框架下定义，展现出与经典多项式迥异但同样深刻的数学结构。 从经典到量子的过渡： 我们将分析经典正交多项式在量子力学中的自然出现，例如在处理谐振子、氢原子等问题时，我们遇到的厄米特多项式和拉盖尔多项式。这将引出对“量子”多项式的概念的初步思考：当经典系统被量子化时，其相关的多项式性质会发生怎样的演变？ 非对易代数与量子群中的正交性： 在非对易代数（如Weyl代数、量子群）的框架下，我们引入新的正交性概念。这些代数中的“变量”可能不再是普通的数字，而是满足特定对易关系的算符。我们将研究这些量子代数中的多项式集合，它们如何定义正交性，以及这些正交性与经典情形有何异同。 量子谐振子与算符代数： 量子谐振子模型是量子力学中最基本也是最重要的模型之一。我们将详细分析在算符代数（如升降算符代数）中，如何构建与谐振子能级相关的量子正交多项式。这包括对升降算符的深入理解，以及如何利用它们来生成和识别这些量子多项式。 离散量子群与量子差分方程： 一些量子正交多项式与离散量子群（如Quantum $SU_q(2)$）以及量子差分方程相关。我们将探讨在这种更抽象的代数结构下，多项式如何被定义，它们的正交性质如何保持，以及它们与经典多项式（如量子克拉夫楚克多项式）的联系。 量子多项式的应用： 量子信息论： 量子正交多项式在量子计算和量子信息处理中扮演着越来越重要的角色。它们可以用来构建量子比特的态空间、描述量子操作，甚至在量子纠错码的设计中发挥作用。 量子可积系统： 在研究量子可积系统时，量子正交多项式经常作为问题的解或关键工具出现，帮助我们理解系统的动力学和代数结构。 代数与组合结构： 量子正交多项式揭示了代数、组合数学和量子力学之间深刻而新颖的联系。它们为研究各种代数结构和组合对象提供了新的视角。 递归关系与生成函数（量子视角）： 我们将研究量子正交多项式所满足的递归关系和生成函数。这些关系可能与经典情形有所不同，并且通常与量子群的代数结构或量子差分方程相关。 量子正交多项式的分类与相互关系： 随着研究的深入，我们将尝试对已知的量子正交多项式进行分类，并探究它们之间的相互转换关系。这可能涉及对它们的代数生成器、正交条件以及它们所属的代数结构的比较。 本书的目标读者： 本书适合对数学分析、特殊函数、代数、量子力学、量子信息论等领域有一定了解的本科生、研究生以及研究人员。它将为读者提供一个深入理解经典与量子正交多项式理论的全面视角，并激发他们在相关领域进行进一步探索的兴趣。 通过系统地梳理经典正交多项式的丰富历史和深刻理论，并在此基础上拓展到新兴的量子正交多项式领域，本书旨在为读者构建一个完整而连贯的知识体系，揭示这些看似独立的多项式家族背后隐藏的深刻数学联系和广泛的应用前景。

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