Variational Principles for Discrete Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:International Press of Boston, Inc

作者:Dai, Junfel (EDT)/ Gu, Xianfeng David (EDT)/ Luo, Feng (EDT)

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:2008-11-30

价格:GBP 40.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781571461728

丛书系列:

图书标签:

• 经典
• 数学
• 科学
• 教材
• Mathematics
• Variational methods
• Discrete surfaces
• Surface modeling
• Numerical analysis
• Optimization
• Geometry processing
• Computer graphics
• Differential geometry
• Energy minimization
• Mesh processing

变分法在离散几何中的应用 本书深入探讨了变分法在处理离散几何问题中的强大能力，尤其侧重于如何利用数学上的优化思想来理解和构建离散表面。我们不再局限于传统的连续几何视角，而是聚焦于由顶点、边和面构成的数字模型，并以此为基础，揭示变分原理如何为这些离散结构赋予内在的几何属性和行为。 核心内容概述： 本书的第一部分着重于建立离散几何的数学框架。我们将介绍离散曲面表示的基本概念，包括网格数据结构、顶点、边、面的拓扑关系，以及如何定义和计算离散表面上的几何量，如离散曲率、面积、体积等。在这里，我们强调的是如何将连续几何的概念“离散化”，以便在计算机中进行处理和分析。这部分内容将涵盖多边形网格、三角形网格、四边形网格等常见表示形式，并讨论其各自的优缺点。 紧接着，我们将正式引入变分法的基本原理，并将其适配到离散的几何场景中。变分法本质上是寻找使某个函数（通常是能量函数或作用量）取极值的函数或曲线。在离散几何中，这意味着我们要寻找一组顶点的位置，使得与这些顶点构成的离散曲面相关的某个“能量”最小化。我们将详细介绍离散化后的能量函数，例如表面积最小化（等同于Soap Film问题），弯曲能最小化（描述了材料的弹性形变），以及与等度量性质相关的能量。 本书的核心创新点在于，我们将变分原理与各种离散几何问题紧密结合。例如，我们深入研究了如何利用变分原理来生成平滑的离散表面，这在计算机图形学和可视化领域至关重要。通过最小化离散曲面上的弯曲能，我们可以有效地去除网格中的噪声和锯齿，获得视觉上更令人愉悦和几何上更准确的表示。 此外，本书还探讨了变分法在网格生成和自适应细分中的应用。传统的网格生成算法往往难以保证网格质量和适应性。而通过将网格生成视为一个变分问题，我们可以定义相应的能量函数，使得生成的网格在满足特定几何约束的同时，又能保持良好的形状和尺寸分布。这对于需要高精度几何分析的应用，如有限元分析（FEA）和计算流体动力学（CFD），具有重要的意义。 本书的另一个重要主题是离散微分几何。我们将介绍如何将连续微分几何中的算子，如梯度、散度、拉普拉斯算子等，在离散网格上进行恰当的定义和实现。这些离散算子是理解和操作离散曲面几何性质的关键。我们将展示如何利用这些算子来定义和求解与几何相关的偏微分方程，从而模拟各种物理现象，例如热传导、扩散等在离散表面上的演化。 离散曲率的计算是本书的重要组成部分。我们不再依赖于连续的曲率定义，而是引入一系列离散化的曲率度量，并解释它们如何从变分原理中自然导出。我们将讨论各种离散曲率估计方法，包括顶点法、边法、面法，以及它们在几何分析和形状描述中的作用。 本书还涵盖了离散可积性问题。在某些情况下，离散曲面可能具有与连续曲面相似的可积性性质。我们将探讨如何识别和利用这些性质，例如在离散曲面上定义黎曼度量，并将其与变分原理联系起来。 主要章节（示例性，具体结构可能调整）： 第一章：离散几何基础 离散曲面表示：网格结构，拓扑与几何。 离散几何量的计算：离散面积，离散体积，离散法线。 离散曲率概念：离散高斯曲率，离散平均曲率。 第二章：变分法的基本原理 泛函与极值问题。 欧拉-拉格朗日方程。 离散变分法的引入。 第三章：表面积最小化与离散Soap Films 离散表面积的定义。 最小化离散表面积的变分问题。 离散Soap Film的模拟与应用。 第四章：离散弯曲能与表面平滑 离散弯曲能的构建。 利用变分法进行表面平滑。 噪声去除与细节增强。 第五章：离散微分几何算子 离散梯度，散度与拉普拉斯算子。 离散算子在几何分析中的应用。 离散微分几何方程的求解。 第六章：网格生成与自适应细分 将网格生成视为变分问题。 质量与适应性控制。 自适应网格细分算法。 第七章：离散曲率的精确估计 不同离散曲率的定义与推导。 曲率估计的鲁棒性。 曲率在形状分析中的应用。 第八章：离散可积性与黎曼度量 离散黎曼度量的概念。 可积性在离散几何中的体现。 变分法与黎曼度量的关系。 目标读者： 本书适合数学、计算机科学、物理学以及工程学领域的研究人员、研究生和高级本科生。尤其适合对计算机图形学、几何建模、数值模拟、计算物理等方向感兴趣的读者。具备一定的数学分析、线性代数和微积分基础将有助于更好地理解本书内容。 本书的价值： 本书提供了一个严谨且实用的框架，用于理解和解决离散几何问题。它不仅展示了变分法作为一种强大的数学工具在几何领域的普适性，更重要的是，它为如何设计和分析离散几何模型提供了深刻的见解。通过本书的学习，读者将能够： 理解离散曲面几何的内在数学结构。 掌握利用变分原理解决几何优化问题的技术。 开发和应用先进的几何处理算法。 深入理解离散微分几何的概念和计算方法。 为进一步研究更复杂的几何问题打下坚实的基础。 本书旨在激发读者对离散几何领域及其在科学与工程中广泛应用的兴趣，并鼓励他们探索更多利用数学工具来理解和操纵几何形状的可能性。

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