Introduction to Mathematical Proofs pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Roberts, Charles E., Jr.

出品人:

页数:425

译者:

出版时间:

价格:$ 146.05

装帧:

isbn号码:9781420069556

丛书系列:

图书标签:

• 数学证明
• 离散数学
• 数学分析
• 集合论
• 逻辑学
• 数学基础
• 高等数学
• 证明技巧
• 数学思维
• 本科教材

深入抽象思维的殿堂：解析离散数学与高级代数基础 图书名称：离散结构与抽象代数导论 内容简介 本书旨在为读者构建一套坚实的数学基础，尤其侧重于离散结构（Discrete Structures）和抽象代数（Abstract Algebra）的核心概念。它并非一本面向初学者的“快速入门”指南，而是一部旨在培养读者严谨逻辑思维、深度分析能力以及跨领域应用潜力的进阶读物。全书结构严谨，论证详尽，力求在保证数学严密性的同时，提供足够的直观解释和丰富的实例支撑。 第一部分：离散结构的基石——逻辑、集合与计数 本部分聚焦于现代数学和计算机科学的通用语言：离散结构。我们从最基础的数学语言——命题逻辑与一阶谓词逻辑开始，详细探讨推理规则、有效性、可满足性以及证明技术（如直接证明、反证法、数学归纳法）。此部分着重于形式化表达的训练，确保读者能够精确地构建和分析数学论断。 随后，我们深入集合论的现代视角。集合不再仅仅是对象的汇集，而是数学结构的基础。我们详细阐述了集合运算、笛卡尔积、幂集，并引入了基数（Cardinality）的概念。通过对有限集、可数无限集（如自然数集、整数集、有理数集）以及不可数无限集（如实数集）的比较，读者将对“无穷”的层次性有深刻的理解。特别是对康托尔对角线论法的深入剖析，是理解集合论深度与广度的关键一步。 关系与函数作为连接集合元素的桥梁，占据了重要篇幅。我们详细分类讨论了不同的关系类型，包括等价关系及其在集合划分中的作用，以及偏序关系及其在偏序集（Posets）中的应用，特别是关于格（Lattices）和上界、下界、最小元、最大元的精确定义和寻找方法。函数的讨论则侧重于单射、满射和双射的性质，以及它们在构造数学结构中的作用。 计数原理部分，我们系统梳理了组合学的核心工具。从基础的加法原理、乘法原理出发，过渡到排列（Permutations）和组合（Combinations）的经典公式。更进一步，本书引入了生成函数（Generating Functions）这一强大工具，用于解决复杂的递推关系问题和计数难题。对鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的精妙应用案例贯穿始终，展示了如何利用简单的约束条件导出非平凡的结果。 第二部分：代数结构与群论的起源 本书的第二部分是通往抽象代数世界的阶梯，核心是代数结构的正式定义和分析。我们从代数运算的性质入手，逐步抽象出群、环、域的基本概念。 群论（Group Theory）是本部分的核心。我们首先给出群（Group）的四条基本公理，并分析了这些公理所蕴含的深刻结构。我们研究了群的子群（Subgroups）、陪集（Cosets）以及拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其推论，包括元素阶的概念。 同态与同构是理解代数结构相似性的关键。我们定义了群同态（Homomorphisms）和同构（Isomorphisms），并证明了基本性质，如核（Kernel）和像（Image）的性质。第一同构定理的详细推导和应用被视为本章的重中之重，它揭示了商群（Quotient Groups）与同态之间的本质联系。 我们探讨了特殊的群结构，如循环群（Cyclic Groups），以及置换群（Permutation Groups），特别是对对称群 $S_n$ 的深入分析，这是理解群结构复杂性的绝佳模型。此外，本书还引入了正规子群（Normal Subgroups）的概念，为构建商群奠定了基础。 第三部分：环与域的深化探索 在群论的基础上，我们扩展到具有两种运算的结构——环（Rings）。我们详细讨论了环的定义、交换环、单位环、零因子（Zero Divisors）以及整环（Integral Domains）。 环论的精髓在于对理想（Ideals）的研究。理想作为环中的“特殊子群”，其作用类似于群论中的正规子群。我们详细区分了主理想（Principal Ideals）、极大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals），并证明了它们之间的层次关系。通过商环（Quotient Rings）的构造，我们将代数结构的复杂性进一步分解和理解。 最后，本书将焦点汇聚于域（Fields）。域被视为在加法和乘法运算上具有最佳性质的结构。我们系统地研究了多项式环，特别是对域上多项式的带余除法和唯一分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）进行了深入探讨。本书对域的扩域（Field Extensions）进行了初步的介绍，为后续学习伽罗瓦理论等前沿课题埋下伏笔。 教学特色与目标读者 本书的语言力求精确且富有启发性。每一章节的论述都遵循“定义—定理—证明—示例/反例”的严格流程。我们精心设计了大量的练习题，这些题目分为基础巩固型和挑战思维型，旨在训练读者独立完成数学证明的能力。 本书适合于数学、计算机科学、理论物理学以及相关工程学科的高年级本科生和初级研究生，作为离散数学、现代代数或抽象结构课程的核心教材。成功完成本书内容的学习，读者将不仅掌握一套高级的数学工具，更重要的是，培养出一种用抽象、结构化和逻辑化的方式审视和解决问题的思维模式。

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