Lectures on Analytic Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Ilyashenko, Yulij/ Yakovenko, Sergei

出品人:

页数:625

译者:

出版时间:

价格:79

装帧:

isbn号码:9780821836675

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

数学
常微分方程
偏微分方程
分析动力系统
微分几何
泛函分析
拓扑学
数学分析
数值分析
应用数学
控制理论

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具体描述

好的，以下是针对一本名为《Lectures on Analytic Differential Equations》的图书所撰写的、不包含该书内容的详细图书简介。 --- 《拓扑动力系统的几何》内容提要本书深入探讨了拓扑动力系统的核心概念、关键理论及其在现代数学与物理学中的广泛应用。全书旨在为读者构建一个坚实的基础，从最基础的动力系统定义出发，逐步引导至高阶的结构稳定性、奇异吸引子以及遍历理论的前沿。不同于侧重于解析性质的研究路径，本书的焦点完全置于系统在拓扑空间中的长期行为、不变集的存在性与结构，以及系统族如何通过拓扑形变相互关联。第一部分：基础与度量第一部分奠定了研究拓扑动力系统的基础框架。我们首先引入了度量空间上的动力系统定义，重点关注紧致空间上的连续流与映射。详细分析了轨道、平移集、极限集（特别是闭合极限集）的拓扑性质。我们花费大量篇幅讨论了Poincaré截面法在低维系统分析中的应用，尽管不涉及微分方程的解析形式，但我们严格考察了该方法如何揭示系统在特定截面上的离散动力学特性。此外，本部分引入了拓扑共轭的概念，这是研究动力系统本质不变性的核心工具。我们深入剖析了共轭的充要条件，并引入了重要的拓扑不变量，如布拉赫引理在非退化情况下的应用，用以区分拓扑性质迥异的系统。第二部分：不变集的结构与稳定性本部分的核心在于理解动力系统中“不散开”部分的拓扑结构。我们详细考察了不变集的内在拓扑性质。讨论了闭合不变集的连通性、紧致性和分离性。特别关注了单圈（simple closed curves）和环面作为不变集的可能性及其在特定动力学空间（如二维球面和环面）中的嵌入方式。稳定性理论在本书中以拓扑角度呈现。我们引入了拓扑稳定和渐近拓扑稳定的概念，并将其与传统的李雅普诺夫稳定性进行对比。书中详细分析了鞍点（saddle points）和中性点（neutral points）的拓扑结构，强调了马尼福尔德（Invariant Manifolds）在吸引子或排斥子邻域中的行为，即使不依赖于解析导数，拓扑上的“拉伸”和“折叠”特性依然是理解复杂性的关键。第三部分：奇异性与混沌的几何在深入了解结构稳定性之后，第三部分转向研究系统行为的复杂性和奇异性。我们聚焦于拓扑熵的概念，它量化了拓扑动力系统产生新轨道的速率，是衡量混沌程度的拓扑不变量。本书详述了Horseshoe（马蹄）结构的拓扑构造，这是最基本且具有里程碑意义的混沌模型之一。我们利用Cantor集和动态空间的映射性质，精确地描述了狄利克乎映射（The Tent Map）在不同参数下的拓扑共轭类，并展示了如何通过拓扑连接性来识别“类混沌”行为，而非依赖于数值计算。第四部分：遍历理论的拓扑视角遍历理论是连接统计力学和动力系统的桥梁。本部分采用严格的拓扑几何视角来探讨该领域。我们定义了概率测度，并着重于那些在拓扑空间中具有特定不变性的测度，即拓扑正则测度。讨论了转移矩阵（Transfer Matrix）方法在分析离散系统不变测度上的应用，特别是对于具有特定结构（如分片线性结构）的系统。我们引入了熵的拓扑构造，并探究了可遍历性与遍历性在拓扑上的区别与联系。重点在于理解“几乎所有”点遵循的长期统计规律，如何由空间的整体拓扑结构所决定。第五部分：系统族与形变本书的最后一部分探讨了动力系统如何随参数变化而演化，即系统族的研究。我们考察了莫尔斯理论（Morse Theory）在流形上动力系统的能量函数和拓扑结构变化中的应用，重点关注分岔（Bifurcations）的拓扑分类。我们分析了低维系统（特别是二维平面系统）中，当参数变化导致极限环的产生、消失或碰撞时，系统的拓扑结构如何发生突变。这包括对同伦（Homotopy）方法的引入，用以追踪特定拓扑结构（如环或结）在参数空间中的演化路径，从而识别出结构稳定的区域与结构不稳定的边界。目标读者本书适合于具有扎实的实分析和基础拓扑学背景的研究生和研究人员。它为希望从几何和拓扑视角理解复杂系统行为的数学家、理论物理学家以及工程师提供了深入的理论指导。阅读本书将帮助读者培养对动力系统内在拓扑结构的敏感性和直觉，是理解现代非线性科学的必要读物。 ---