Inverse Problems, Image Analysis, and Medical Imaging pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society,

作者:La.) AMS Special Session on Interaction of Inverse Problems and Image Analysis (2001

出品人:

页数:305

译者:

出版时间:2002-11

价格:USD 87.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821829790

丛书系列:

图书标签:

• 医学成像
• Inverse Problems
• Image Analysis
• Medical Imaging
• Signal Processing
• Image Reconstruction
• Tomography
• Regularization
• Optimization
• Biomedical Engineering
• Computational Science

《拓扑学与几何学在现代数据分析中的应用》 内容简介 本书系统性地探讨了拓扑学与几何学的前沿理论及其在处理复杂、高维数据结构中的强大应用。在信息爆炸的时代，传统依赖线性代数和欧几里得几何的方法在揭示数据内在的“形状”和“连通性”方面日益显得力不从心。本书旨在弥合纯数学理论与实际数据科学应用之间的鸿沟，为读者提供一套理解和量化非线性、非局部数据特征的全新数学工具。 全书共分为五个相互关联的部分，从基础理论的构建到前沿算法的实现，层层深入。 第一部分：基础拓扑结构与度量 本部分首先奠定了必要的数学基础，重点聚焦于代数拓扑的基本概念，但视角独特，侧重于其在离散数据集合上的实例化。我们详细阐述了单纯复形（Simplicial Complexes）的构建方法，这是将原始数据点集（如传感器读数、分子结构数据）转化为可进行拓扑分析的离散拓扑空间的关键步骤。随后，深入讲解了同调群（Homology Groups）的计算方法，特别是简化同调（Reduced Homology）和持久同调（Persistent Homology, PH）的原理。PH是本书的核心工具之一，它允许我们不仅检测拓扑特征（如洞、连通分支），更重要的是，量化这些特征的“显著性”或“存在周期”，有效区分结构噪声与真实信号。 我们引入了Moser-Tardos定理在随机覆盖问题中的应用，并探讨了在有限域上计算Betti数的实用算法，为后续的特征提取奠定了坚实的理论基础。 第二部分：黎曼几何与数据流形学习 本部分将目光转向微分几何。数据往往内在嵌于一个低维的非线性流形之中，而这个流形通常拥有复杂的曲率结构。我们摒弃了对欧氏距离的盲目依赖，转而采用黎曼度量（Riemannian Metrics）来准确衡量流形上的测地距离（Geodesics）。 重点章节详细介绍了主成分分析（PCA）的流形推广，即测地主成分分析（Geodesic PCA），以及如何利用指数映射（Exponential Map）和对数映射（Logarithmic Map）在局部近似流形结构。此外，本书还深入探讨了空间统计学与几何均值在处理非线性数据的融合问题上的优势，特别是Wasserstein度量（或称推土机距离）在比较概率分布或点云结构时的优越性，这对于处理动态系统的轨迹数据至关重要。 第三部分：拓扑数据分析（TDA）的算法实现与优化 本部分侧重于将理论转化为可操作的计算工具。我们详细剖析了构建过滤复形（Filtration）的两种主要策略：$epsilon$-邻域过滤和关联矩阵过滤（如基于距离的Vietoris-Rips复形）。 算法效率是TDA应用的关键瓶颈。因此，本书特别辟出一章专门讨论持久同调的加速计算。内容涵盖了矩阵削减算法（Matrix Reduction Algorithms），如Persistence Algorithm的优化版本，以及利用树结构（Persistence Diagrams as Trees）来简化和压缩高维持久性信息的方法。我们还探讨了如何使用近似算法来应对大规模点云数据的计算挑战，包括基于随机采样的拓扑特征估计算法。 第四部分：几何特征在网络科学与高维信号处理中的应用 本部分展示了拓扑与几何工具如何解决特定应用领域的结构识别问题。 在网络科学中，传统的中心性指标往往忽略了网络的多尺度拓扑结构。本书引入了网络拓扑特征描述符，利用网络同调来量化团体、桥接和周期性结构。例如，如何使用持久同调来识别社交网络中短暂的、高度聚集的社区（高阶的环结构）。 在高维信号处理方面，我们展示了如何将时间序列数据提升到高维相空间（例如使用Takens嵌入），然后利用几何工具（如曲率估计和拓扑特征）来区分确定性混沌系统和随机噪声。曲率分析被应用于评估嵌入空间的局部扭曲程度，指导最优的特征降维路径选择。 第五部分：几何学习理论与可解释性 本书的最后一部分将视角转向深度学习的背景下，探讨几何深度学习（Geometric Deep Learning）的数学基础。虽然本书不深入讲解具体的卷积神经网络（CNN）或图神经网络（GNN）架构，但我们专注于支撑这些架构的非欧几里得空间上的泛函分析。 我们分析了群论在处理变换不变性（如旋转、平移）中的作用，并讨论了如何设计在黎曼流形上保持良好性质的损失函数。核心议题包括可微分的拓扑近似——如何在梯度下降的框架内，对那些本质上是离散的拓扑量（如Betti数）进行合理的、可微的替代，以实现几何感知的参数优化。本书强调，理解数据的内在几何结构，是提升模型泛化能力和确保预测结果可解释性的根本所在。 目标读者 本书适合具有扎实线性代数、微积分和基础拓扑学知识的研究人员、高级研究生以及工业界数据科学家。它为希望将几何直觉和拓扑严谨性融入其复杂数据分析工作流中的专业人士提供了必要的理论深度和计算指导。

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我是在一个研究小组的推荐下接触到这本著作的。坦白说，最初的阅读体验是有些痛苦的。作者的叙述风格极其精炼，几乎每个句子都承载了大量的数学信息量，没有太多花哨的修饰语来引导读者的情绪，全靠读者自身的数学直觉和背景知识去填补那些看似空白但实则信息爆棚的逻辑跳跃点。我记得在处理其中关于Tikhonov正则化参数选择的那一章时，我不得不停下来，拿出我大学时期的线性代数和泛函分析的笔记反复对照。这本书的伟大之处，恰恰在于它毫不留情地展示了解决实际工程问题时，理论的复杂性和抽象性是如何交织在一起的。它没有提供“一键解决”的万能药方，而是深入剖析了每种方法的内在局限和适用范围，迫使读者去理解“为什么”一个方法会奏效，而不是简单地“如何”应用。这种深度挖掘的写作手法，虽然增加了阅读的门槛，但一旦跨越过去，那种豁然开朗的成就感是其他任何材料都无法比拟的，它真正培养的是一种批判性的科学思维。

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这本书的“手感”和“重量”很像一本早期的经典教材，那种朴实无华却蕴含深厚功力的感觉，让人联想到上世纪七八十年代，数学家们在解决基础科学难题时所采用的扎实作风。我发现作者在引用文献时非常审慎，引用的都是那些奠基性的工作，很少涉及最新的、可能还未被充分验证的“时髦”方法。这使得全书的论述具有极强的生命力，即便十年后重读，其核心原理依然闪耀着光芒。对我这样一个需要定期回顾基础知识的研究者而言，这本书的价值在于其系统性和完备性。它提供了一个从基础的傅里叶变换和变分原理出发，逐步过渡到现代优化算法的完整脉络。那些关于梯度下降法收敛性的分析，虽然推导过程繁复，但一旦理解，就能立刻识别出当前所用迭代算法的潜在缺陷，这种“内功”的修炼，是读其他“速成”手册所无法企及的。

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这本书的封面设计极具现代感，黑白分明的线条勾勒出一个复杂的几何图形，很容易让人联想到数据点和拓扑结构。我拿起它时，最先注意到的是纸张的质地，那种略带粗糙的触感，仿佛在暗示着内容本身的深度和挑战性。它没有那些畅销书常见的浮夸宣传语，只有书名和作者的署名，这种低调反而更吸引我——感觉这是一本真正为专业人士准备的“硬核”读物。初翻几页，我发现它的排版非常紧凑，公式和图表占据了大量的空间，这通常意味着作者对细节的把控极其严格，不打算在基础概念上做过多拖沓的解释。我尤其欣赏它在引言部分对“逆问题”这个核心概念的界定，用了一个非常形象的比喻，将之类比为通过观察烟雾的形态来推断火源的性质与位置，这种直观的引入方式，瞬间拉近了理论与实际应用的距离，让人对接下来的内容充满了期待和敬畏。尽管目录看起来有些枯燥，但字里行间透露出的那种对数学严谨性的追求，让人确信这不是一本浮于表面的科普读物，而是需要投入大量时间去啃读的学术瑰宝。

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从一个应用图像处理的角度来看，这本书的价值体现在它对“信息丢失”这个核心挑战的深刻剖析。现代的数字成像技术，无论是CT、MRI还是光学显微镜，本质上都是一个逆过程——从采集到的低维、有噪声的数据重建出高维、真实的对象信息。这本书的第三部分，专门探讨了各种去卷积和反散射技术，其论述的层次非常高。它不仅仅是罗列算法，而是将每种算法背后的统计学假设和概率模型剖析得淋漓尽致。比如，在讨论贝叶斯方法时，作者构建了一个非常优雅的框架，将先验知识的引入过程清晰地展示出来，这对于那些希望在自己的特定领域（比如医学诊断图像增强）中定制算法的工程师来说，简直就是一份宝贵的蓝图。我特别喜欢它在讨论病态性（Ill-posedness）时所采用的清晰的几何解释，帮助我理解为什么数值稳定性在这些领域是如此脆弱，也解释了为什么我们需要如此精妙的正则化策略来维持解的物理意义。

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这本书的排版和图注质量，坦白地说，如果用今天的眼光来看，略显陈旧，一些示意图看起来像是用早期的绘图软件制作的，线条略显粗糙，缺乏现代出版物那种高清锐利的质感。然而，正是这种略带“复古”的视觉风格，反而强化了其内容的权威性。这本书并不依赖华丽的视觉效果来吸引人，它完全依靠数学的内在美感和逻辑的严密性来征服读者。我注意到作者在讨论某些涉及高维空间几何的定理证明时，经常使用大段的文字来进行精细的逻辑衔接，而不是仅仅依靠图示来“示意”证明过程。这种对文字逻辑的尊重，体现了一种非常传统的、注重论证过程的学术精神。总而言之，这不是一本适合在通勤路上消磨时间的书，它需要你关掉手机，找一个安静的角落，带着笔和草稿纸，与作者进行一场长时间的、智力上的深度对话。

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