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出版者:

作者:Baratto, Stefan/ Kohlmetz, Kelley Kaiser/ Bergman, Barry

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页数:0

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出版时间:

价格:535.00 元

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isbn号码:9780073273549

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• 代数
• 中级代数
• 数学
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• 因式分解

好的，这是一份关于一本名为《高级微积分与微分几何导论》的图书的详细简介，内容完全避开了《Intermediate Algebra》所涵盖的代数主题。 《高级微积分与微分几何导论》 导论：超越平面——探索高维空间的结构与变化 《高级微积分与微分几何导论》是一部为数学系高年级本科生和初级研究生精心撰写的教材，旨在为读者建立从传统单变量微积分到现代几何分析的坚实桥梁。本书的核心目标是培养读者对多变量函数、积分、向量场在抽象空间中的行为的深刻理解，并在此基础上引入微分几何的基本概念，特别是流形（Manifolds）的结构。 本书假设读者已经掌握了单变量微积分（极限、导数、积分）和线性代数（向量空间、线性变换、矩阵）的基础知识，但我们将从头开始，以严格的分析方法来构建多变量微积分的理论框架。我们避免仅仅停留在计算层面，而是着重于概念的定义、定理的证明及其背后的几何直观。 第一部分：多变量微积分的严格基础 本书的第一部分专注于为多变量函数建立一个严谨的分析框架，这是理解更高级几何结构的前提。 第1章： $mathbb{R}^n$ 上的拓扑基础与向量值函数 我们首先复习并深化了 $mathbb{R}^n$ 空间的拓扑性质，包括开集、闭集、紧集（Heine-Borel 定理）的概念，这些在分析函数性质时至关重要。随后，我们将重点转向向量值函数，讨论其极限、连续性。 本章的关键内容包括： 范数与距离的比较： 详细分析 $L^p$ 范数在 $mathbb{R}^n$ 上的作用，并证明它们之间的等价性（在有限维空间中）。 连续映射的性质： 紧集在连续映射下的像仍然是紧集，以及连续函数在紧集上的均匀连续性。 第2章：偏导数、方向导数与链式法则的推广 本章将单变量微积分中的导数概念推广到高维空间。我们将区分偏导数、方向导数和全微分（Total Derivative）。 全微分与可微性： 严格定义函数在某点处可微的条件，并证明连续可微函数（$C^1$ 函数）是可微的。我们深入探讨了可微性与偏导数存在性之间的区别。 高维链式法则： 详尽阐述链式法则在复合函数中的应用，并通过矩阵形式（雅可比矩阵）清晰地展示其结构。 隐函数定理与反函数定理： 这是多变量分析的核心工具。我们给出这两个定理的严格证明，并展示它们在局部求解方程组和坐标变换中的强大威力。我们将从拓扑角度解释这些定理的几何意义。 第3章：多元函数的极值问题与最优性 本章关注如何利用微分工具来寻找函数的极值点。 临界点与二阶导数检验： 引入 Hessian 矩阵，并详细分析其特征值在判断临界点的性质（局部极大值、局部极小值或鞍点）中的作用。 拉格朗日乘数法： 专门研究带约束条件的优化问题。我们将从几何角度（梯度与约束曲面的法向量平行）推导出乘数法的原理，而非仅仅将其视为一个计算公式。 第4章：多重积分的理论与计算 从 $mathbb{R}^2$ 上的二重积分开始，本章系统地介绍了黎曼积分在 $n$ 维空间中的推广。 可积性的条件： 定义多重黎曼积分，并讨论有界区域上连续函数的可积性。 累次积分与Fubini定理： 阐述 Fubini 定理的条件与应用，这是进行实际计算的基础。我们会讨论 Fubini 定理在积分顺序交换上的重要性。 变量替换与雅可比行列式： 深入分析在进行坐标变换（如极坐标、球坐标）时，积分区域和积分元素如何通过雅可比行列式进行修正。 第二部分：向量场、积分与基本定理 本书的第二部分将分析引入了向量场的概念，并为后来的微分几何做准备。重点在于积分与微分运算之间的深刻联系。 第5章：曲线积分与线积分 本章将积分的概念从区域扩展到曲线。 参数化曲线： 引入曲线的参数化表示，并定义曲线上的线积分。 保守向量场： 探讨向量场的路径无关性，即保守场。我们将证明一个向量场是保守场等价于其旋度（Curl）为零（在 $mathbb{R}^3$ 中），以及它是否是某个标量势函数的梯度。 第6章：曲面积分与通量 本章扩展到更高维度的积分，处理曲面上的积分。 曲面的参数化： 定义曲面的法向量和面积元。 通量积分： 引入向量场通过曲面的通量概念，并严格定义计算方法。 第7章：格林、斯托克斯与高斯散度定理 这是多变量微积分理论的顶峰，它揭示了积分运算之间的普遍关系。 格林公式： 在平面上连接了线积分和二重积分。 斯托克斯定理： 将线积分与曲面积分联系起来，是更高维度的“基本定理”的体现。 散度定理（高斯公式）： 将向量场在闭合区域上的通量与该区域内散度的体积分联系起来。 我们将展示这些定理的统一性，并强调它们在物理学（流体力学、电磁学）中的基本作用。 第三部分：微分几何的入门——流形的结构 本书最后一部分将视角从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 提升到更一般的、抽象的微分流形（Differentiable Manifolds）概念。 第8章：拓扑流形与局部坐标系 我们从拓扑学的角度定义微分流形，它是在局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。 图册、坐标卡与转移映射： 详细解释如何通过一组坐标卡来覆盖流形，以及相邻坐标卡之间的微分同胚（转移映射）的性质。 可微性在流形上的定义： 解释如何在抽象的流形上谈论函数的可微性，完全依赖于局部坐标卡。 第9章：向量场与张量场（几何分析的工具） 本章将多变量微积分中的向量场概念抽象化到流形上。 切空间： 在流形上的每一点定义切空间 $T_p M$，它作为该点上所有可能的速度向量的集合。我们将展示切空间是一个向量空间。 流形上的向量场： 向量场被定义为光滑地“选择”了每一点切空间中的一个向量的映射。 张量场基础： 初步引入协变向量（1-形式）的概念，并展示如何通过张量积来构造更复杂的几何对象。 第10章：微分形式与外微分 这是将积分理论与微分结构完美结合的关键步骤。 微分 $k$-形式： 形式化地定义微分形式，它们是切空间上的反对称多重线性函数。 外导数（Exterior Derivative）： 严格定义外导数 $d$，它是高维空间中梯度、旋度和散度的统一推广。 de Rham 上同调（简介）： 简要介绍闭微分形式和恰当微分形式，并展示 Poincaré 引理如何证明某些保守场在简单连通区域上是零散度场。 总结与展望 《高级微积分与微分几何导论》旨在提供一种从计算到概念的过渡，使读者不仅能熟练运用多变量微积分工具，更能理解这些工具在更广阔的几何背景下的深刻意义。本书为有志于研究几何分析、拓扑学或理论物理学的学生打下了不可或缺的数学基础。全书结构严谨，推导详尽，旨在培养读者的数学洞察力和严格的证明能力。

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我是一名社区大学的代数辅导员，每年都要面对大量基础薄弱的学生。寻找一本既能满足教学大纲要求，又能真正帮助学生建立信心的教材是我的长期任务。《Intermediate Algebra》这本书，在我今年的辅导工作中，扮演了至关重要的角色。它的核心优势在于其“渐进式难度提升”的教学设计。初期的章节内容非常基础，重点在于巩固算术运算中的符号规则和基本代数操作，这对于那些多年未碰数学的学生来说，是一个非常友好的起点。随着章节的深入，比如在介绍分式方程和根式方程时，它非常系统地引入了“增根”和“舍根”的辨析，并且提供了大量的案例分析来解释为什么必须进行这些检验步骤，这比许多只做简单陈述的教材要负责任得多。我发现，学生们在使用了这本书的配套练习后，他们对“为什么这样做是对的”的追问明显减少了，因为书中的解释已经足够详尽。此外，书中穿插的“历史小知识”和“应用拓展”部分，也为课堂讨论提供了丰富的素材，避免了课堂教学的单调性。如果要说不足，或许是它对计算机代数系统（CAS）的应用指导略显不足，但作为一本侧重基础理解的教材，这一点可以理解和接受。

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说实话，我是一个典型的“数学恐惧症”患者，每次看到一堆符号和公式就头疼。我买《Intermediate Algebra》的初衷是想找一本能让我“重新爱上”代数的东西，并且能够真正解决我长期以来对代数概念模糊不清的问题。这本书的表现只能用“惊喜”来形容。作者采用了大量口语化的解释来引导复杂的概念，尤其是在引入抽象的代数结构时，他们总是会先用一个非常具体的、日常的例子来打比方，然后再慢慢过渡到符号表达。这种“搭桥引渡”的方式，极大地降低了我的学习焦虑感。我记得有一段关于多项式因式分解的讲解，作者详细对比了不同方法的适用场景和效率，甚至还提到了历史上是谁最先发现这些方法的，这使得学习过程充满了人文色彩，而不是冷冰冰的数字游戏。而且，这本书的排版和印刷质量也值得称赞，字体清晰，数学符号的渲染非常到位，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。尽管我不是科班出身，但通过这本书的学习，我现在对二次函数的图像变化和韦达定理等核心概念已经胸有成竹了，这对我目前的工作（虽然和数学关系不大）也带来了意想不到的逻辑清晰度提升。

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这本书给我的感觉，与其说是一本教科书，不如说是一套经过精心策划的“代数思维训练手册”。我当初购买它的主要目的是为了复习，准备参加一个职业资格考试，而这个考试对代数运算的准确性和速度要求极高。《Intermediate Algebra》在速度和准确性的训练上做得极其出色。它有一个非常独特的练习模块，我称之为“快速反应练习”，这些练习在每个小节的末尾出现，要求读者在极短时间内给出答案，它强制你将公式和步骤内化到肌肉记忆层面。书中对于方程组的解法，比如代入法和加减消元法，不仅讲解了操作步骤，还用图解的方式清晰地展示了两个线性方程组的解在几何上代表什么——即两条直线的交点。这种视觉化的辅助对于我这种依赖空间想象力的学习者来说，是突破性的。这本书没有采用花哨的现代排版设计，而是保持了一种朴素、高效的风格，所有资源都集中在数学内容的有效传递上。虽然我更喜欢更偏向应用领域的教材，但这本《Intermediate Algebra》成功地让我意识到，扎实的基础理解才是所有高级应用的前提。它真正做到了将“中级”的难度，通过最优化的路径传授给读者。

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这本书实在是太棒了，我最近在学习高等数学的时候遇到了一些基础概念上的障碍，特别是微积分的前置知识，很多地方都感觉模棱两可。当我翻开这本《Intermediate Algebra》时，简直像是找到了失落已久的钥匙。它的内容组织非常逻辑清晰，从最基础的变量定义到多项式运算，再到二次方程的求解，每一步都讲解得细致入微。我尤其欣赏作者在讲解概念时采用的“为什么”的视角，而不是仅仅罗列公式。比如，在处理复数运算的时候，作者不仅仅给出了运算规则，还通过几何解释说明了其背后的意义，这让我对代数有了更深层次的理解。我记得有一章专门讲了函数与图形，图例非常丰富，而且有些例子是现实生活中的情境，比如人口增长模型或者简单的经济学问题，这让枯燥的代数学习变得生动起来。如果说有什么不足，可能就是练习题的难度梯度可以再细分一些，但总体来说，对于任何想要夯实代数基础，尤其是为更高级数学课程做准备的学习者来说，这本书绝对是不可多得的宝藏。它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心的私人导师，在你疑惑不解时，总能及时给出清晰的指引。我强烈推荐给所有感到代数基础不牢固的朋友们。

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坦白讲，我买这本书的时候是抱着试一试的心态，因为我之前用过好几本号称“中级”的代数书，结果发现它们要么过于浅显，要么直接跳到了高阶的线性代数入门，根本无法满足我修复我高中代数知识漏洞的需求。然而，《Intermediate Algebra》这本书完全超出了我的预期。它的行文风格非常严谨，学术气息浓厚，但又不像某些经典教科书那样晦涩难懂，它在保持数学严谨性的同时，努力去贴近读者的认知习惯。我最喜欢的是它对“证明”和“逻辑推导”的强调。很多现代代数教材倾向于直接给出结论，让读者去记忆和应用，但这本教材则引导你去思考“如何得出这个结论”。例如，在讲述不等式的性质时，作者花了相当大的篇幅去解释为什么在某些情况下需要反转不等号，这种对基础逻辑的深挖，对于培养扎实的数学思维至关重要。我花了大量时间在书后的习题集上，发现它们的设计非常巧妙，很多题目需要综合运用前几章的知识点才能解出，这极大地锻炼了我的解题能力和知识整合能力。对于自学者而言，这本书的结构清晰度堪称一流，章节之间的过渡自然流畅，几乎不需要额外的参考资料就能跟上作者的思路。

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