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出版者:

作者:Casse, Rey

出品人:

页数:212

译者:

出版时间:2006-9

价格:$ 67.80

装帧:

isbn号码:9780199298860

丛书系列:

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• 数学
• 教材
• 几何学
• 射影几何
• 数学
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• 拓扑学
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好的，以下是一本名为《Projective Geometry》的图书的详细内容简介，此简介将完全聚焦于该书所涵盖的特定主题，不涉及任何关于人工智能生成或构思的痕迹，力求语言自然、内容充实： --- 《Projective Geometry》图书简介 导论：从欧几里得到射影空间的飞跃 本书《Projective Geometry》旨在系统地、深入地探讨射影几何学的基本原理、核心概念及其在现代数学和工程学中的应用。射影几何，作为欧几里得几何的自然延伸与推广，提供了一种更为普适的几何框架，它通过引入“无穷远点”的概念，统一了平行线与相交线之间的区别，极大地简化了许多几何定理的表述和证明。 本书的叙事逻辑从对传统欧几里得几何局限性的审视开始，逐步引导读者进入射影空间的奇妙世界。我们首先需要理解，在射影几何中，几何性质的讨论不再依赖于长度、角度或距离等度量概念，而是专注于那些在中心投影变换下保持不变的内在关联，即不变量理论。 第一部分：射影空间的基础构建 本书的第一部分致力于奠定坚实的理论基础。我们将详细阐述如何从一个有限维的向量空间 $V$ 构造出相应的射影空间 $mathbb{P}(V)$。 1. 射影坐标与点 我们深入探讨齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）的定义与意义。在 $n$ 维向量空间中，射影空间 $mathbb{P}^{n-1}$ 的点由一组非零的尺度等价类 $[x_0 : x_1 : dots : x_{n-1}]$ 表示。我们将清晰地展示齐次坐标如何自然地统一平面上所有点，包括那些在欧几里得意义上位于无穷远处的点。 2. 基础几何元素：线与平面 在 $mathbb{P}^2$（射影平面）中，射影线（Lines）被定义为原空间向量空间中的一个二维子空间。本书将详细阐述如何利用对偶性原理，将点与线之间的关系通过线性代数工具精确表达。这种对偶性是射影几何中最优雅的特性之一，意味着“任意两条射影线交于一点”与“任意两点决定一条射影线”的表述在形式上是完全对称的。对于更高维度的空间 $mathbb{P}^n$，我们将定义子空间（Subspaces）或称为线性子流形（Linear Submanifolds），并利用 Grassmann 判据来判断它们的交集结构。 3. 对偶性原理的深化应用 我们不仅陈述对偶性原理，更将其作为贯穿全书的强大工具。通过构造对偶空间，本书展示了如何通过简单的替换（点 $leftrightarrow$ 线，交点 $leftrightarrow$ 连接线），将任何射影定理转化为其对偶定理。 第二部分：核心概念——不变量与变换 射影几何的精髓在于理解哪些几何特性在射影变换下保持不变。本部分将深入研究这些关键的代数结构和几何不变量。 1. 射影变换（Projective Transformations） 射影变换是作用于射影空间上的同构映射，它由一个可逆的线性变换在向量空间上诱导产生。我们将定义射影群 $PGL(n, K)$，并分析其作用方式。对于 $mathbb{P}^2$，一个射影变换 $T$ 可以由一个 $3 imes 3$ 的非奇异矩阵 $A$ 表示（在尺度因子下确定）。 2. 交叉比（The Cross-Ratio） 交叉比是射影几何中最基本、最重要的不变量。本书将严格定义四点（或四线）的交叉比，并证明其性质：对于共线的四点 $A, B, C, D$，它们的交叉比 $(A, B; C, D)$ 在任何射影变换下保持不变。我们将展示如何利用交叉比来构造和证明许多经典定理，例如：梅涅劳斯定理（Menelaus' Theorem）和塞瓦定理（Ceva's Theorem）在射影框架下的统一表达。 3. 极性和极线（Polarity and Poles） 本章是理解二次曲线几何性质的关键。在线性代数中，通过一个非奇异二次型（即二次曲线的矩阵表示），可以在 $mathbb{P}^2$ 中定义极性关系。我们将阐述极点与极线之间的相互关系。例如，如果点 $P$ 在某二次曲线 $C$ 的极线上，则 $C$ 的切线通过 $P$。这为理解二次曲线（如圆锥曲线）的切点和切线提供了纯代数和几何统一的视角。 第三部分：二次曲线的射影分类 在射影几何中，二次曲线的分类与欧几里得几何中基于曲率的分类有显著不同。由于我们可以通过射影变换将任何非奇异二次曲线转化为标准形式，分类的重点在于其判别式和自对偶性。 1. 二次曲线的矩阵表示 我们将用一个 $3 imes 3$ 的对称矩阵 $Q$ 来表示 $mathbb{P}^2$ 上的二次曲线 $x^T Q x = 0$。然后，我们分析矩阵 $Q$ 的秩和行列式，以区分非奇异曲线（圆锥曲线）和奇异曲线（退化的线对或单个点）。 2. 非奇异二次曲线（圆锥曲线）的射影等价 本书证明，在射影几何中，所有非奇异二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）在射影变换下都是等价的。我们将展示如何通过一系列精妙的射影变换，将任意圆锥曲线映射到标准形式 $x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0$（在复射影空间中）或 $x_0 x_1 - x_2^2 = 0$（在实射影空间中）。 3. 曲线的对偶性与切线束 我们将利用极性关系，研究二次曲线的对偶：切线束。曲线的切线由一个对偶矩阵 $Q^$ 定义，而切点恰好是 $Q^$ 定义的极点。这种对偶性再次强调了点与线在几何结构上的对等地位。 第四部分：欧几里得几何与射影几何的联结 最后一部分是将射影几何的抽象理论与我们熟悉的欧几里得空间联系起来，特别是理解“无穷远”的概念。 1. 无穷远元素 我们将 $mathbb{R}^3$ 嵌入 $mathbb{P}^2$ 中，将欧几里得平面 $mathbb{R}^2$ 视为 $mathbb{P}^2$ 中不包含于无穷远线 $L_{infty}$ 的部分。无穷远线由所有方向相同的直线相交而成。 2. 无穷远上的度量概念：绝对二次曲线 为了在射影框架下恢复部分度量信息（如垂直性），我们引入绝对二次曲线（Absolute Conic）。在欧几里得平面中，绝对二次曲线对应于一个虚圆，其所有点都在无穷远点处，且所有切线都是虚切线。通过考察一个点相对于绝对二次曲线的极线，我们可以精确地定义欧几里得几何中的正交性（垂直关系）。 总结与展望 本书的结构设计，旨在使读者不仅掌握射影几何的代数工具（如齐次坐标、矩阵表示），更能深刻理解其核心的几何洞察力——即对不变性的追求。掌握这些概念，为理解微分几何、代数几何、计算机图形学（特别是三维重建和透视变换）乃至广义相对论（时空几何）打下坚实的基础。学习射影几何，就是学习一种看待空间和变换的更高级、更普适的眼光。

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这本书的习题设置实在是过于“古典”了，几乎所有的问题都直接对应于书本中刚刚阐述过的某个定理或引理的直接推导，缺乏任何创新性的应用或需要综合运用多个知识点的挑战。读完一堆严密的证明，然后去做那些机械性的重复练习，就好比练武功只做套路招式，却从不进行实战对练，久而久之，思维就变得僵化了。我期待能看到一些需要构建新模型、或者需要将射影观念应用于解决特定空间难题的开放性问题，哪怕是需要结合一点点微积分的思想也好。但实际上，大部分习题的解答过程都可以直接在书本的某个段落里找到影子，这让我在完成作业时，几乎只需要进行“复制粘贴”式的代换，而非真正的“思考”，这对于培养独立解决问题的能力而言，无疑是一种软性的扼杀，无法真正检验我对射影几何的理解是否已经达到了融会贯通的境界。

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这本书的排版简直是一场视觉的灾难，仿佛是上世纪八十年代的激光打印机打印出来的，墨迹深浅不一，字距忽松忽紧，阅读起来就像在走一条布满坑洼的泥泞小路，每翻开一页都需要极大的专注力来适应这种粗糙的质感。更要命的是，图表的质量低劣到了令人发指的地步，那些至关重要的几何图形，线条模糊不清，标注重叠，很多时候我根本无法分辨出哪些是辅助线，哪些是关键的投影面，这对于一本讨论几何学的书籍来说，简直是不可原谅的疏忽。作者似乎完全没有意识到清晰的视觉呈现对于理解复杂概念的重要性，他把所有的精力都放在了理论的堆砌上，却完全忽视了读者体验，我不得不频繁地在不同版本的参考资料间切换，只为了看一个勉强能辨认的示意图，这极大地打断了我的学习思路，使得原本就艰深的课题变得更加晦涩难懂，读完第一章，我就感到一阵强烈的挫败感，仿佛被困在一个只有文字没有图像的迷宫里，急需一盏照明的灯。

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如果说有什么值得称赞的，那就是它在历史背景和哲学思辨上的少量着墨，尽管占比极小，但偶尔穿插其中的关于欧几里得几何与非欧几何冲突的探讨，确实能让人在枯燥的演算之余，感受到射影几何学诞生的时代背景和它所蕴含的深刻洞察力。然而，这些闪光点过于零星，仿佛是作者在讲解完一套冗长的代数证明后，随手在页边写下的几句感想，它们与主体内容几乎是脱节的，未能形成有机的整体。我期待看到更多关于透视法在文艺复兴时期艺术中应用的案例分析，或者至少是更深入地讨论射影变换对物理学和计算机图形学的影响，但这本书对此类应用层面的挖掘显得极其保守和肤浅，更像是停留在纯数学的象牙塔内，对外界的广阔天地视而不见，使得这本书的实用价值远低于其理论的厚度。

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这本书在章节的组织和内容的连贯性上存在着非常明显的断裂感，读起来就像是把几篇水平不一的独立论文强行缝合在一起，前后的衔接处理得非常生硬。例如，在详细论述了对偶原理之后，下一节突然跳跃到了黎曼球上的拓扑性质，两者之间缺乏必要的桥梁性的过渡，我感觉自己像是在乘坐一辆没有减震的公交车，在不同的知识点之间猛烈颠簸。更令人困惑的是，某些基础概念的引入过于分散，读者需要翻阅好几页甚至回到前一个章节才能找到对某个符号的完整定义，这严重破坏了阅读的流畅性。它没有提供一个清晰的学习路径图，而是把所有信息一股脑地倾倒出来，等待读者自己去梳理出逻辑主线，这对那些需要结构化学习的读者来说，无疑是一种折磨，学习效率大打折扣。

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我必须承认，这本书的理论深度是毋庸置疑的，它确实触及了射影几何学的核心——从代数基础到度量空间的过渡，其对齐次坐标系的阐述严谨到令人窒息，几乎每一个步骤都经过了最细致的逻辑推敲，仿佛作者是在用数学的雕刻刀，一笔一划地打磨每一个定理的边界。然而，这种过于纯粹和抽象的论述方式，对于初学者来说，简直就是一座难以逾越的高山。书中充斥着大量的符号系统和晦涩的术语，但在关键的直观解释上却显得异常吝啬，它假定读者已经拥有了扎实的线性代数背景，并且能瞬间领悟更高维空间中的变换逻辑。结果就是，我花了大量时间去消化那些公式，却仍然无法在脑海中构建出一个清晰的、可操作的模型，它更像是一部供资深研究人员查阅的参考手册，而不是一本能够引导新晋学习者进入这个迷人领域的向导，读起来缺乏必要的“脚手架”支撑，让人在空中漂浮，找不到落地的感觉。

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