Computational Noncommutative Algebra And Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Byrnes, Jim/ NATO Advanced Study Institute on Computational Noncommutative Algebra and Applications

出品人:

页数:426

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价格:695.00 元

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isbn号码:9781402019838

丛书系列:

图书标签:

• Noncommutative Algebra
• Computational Algebra
• Algebraic Geometry
• Representation Theory
• Quantum Groups
• Hopf Algebras
• Operator Algebras
• Mathematical Physics
• Combinatorics
• Category Theory

范畴论基础与代数结构：探索抽象代数的广阔疆域 著者： [此处填写虚构的作者姓名，例如：艾伦·怀特，玛丽亚·桑切斯] 出版社： [此处填写虚构的出版社名称，例如：纯粹数学出版社] ISBN： [此处填写虚构的ISBN号，例如：978-1-234567-89-0] --- 内容简介 《范畴论基础与代数结构：探索抽象代数的广阔疆域》 是一部旨在为高等数学，特别是抽象代数、拓扑学和代数几何领域的学生与研究人员提供坚实理论基础的专著。本书聚焦于范畴论作为一种统一数学语言的核心作用，并深入探讨了代数结构如何在这一框架下得以精确描述和关联。本书的编写严格遵循从基本概念到高级应用的递进逻辑，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解路径。 本书的结构清晰，主要分为三个相互关联的部分：范畴论的基石、特殊代数结构的范畴化，以及函子与同构的深刻联系。 第一部分：范畴论的基石 (Foundations of Category Theory) 本部分确立了研究整个代数景观所必需的范畴论的基本概念。我们从最基础的定义出发，系统地介绍范畴 (Categories)、态射 (Morphisms) 和自然同构 (Natural Isomorphisms) 的概念。 第1章：范畴的构建与实例。 详细阐述了什么是范畴，包括对象（Objects）和态射（Morphisms）的性质。我们将考察一系列核心范畴，如集合范畴 ($mathbf{Set}$)，群范畴 ($mathbf{Grp}$)，环范畴 ($mathbf{Ring}$)，以及拓扑空间范畴 ($mathbf{Top}$)。特别地，我们讨论了小范畴与极大范畴的区别，并引入了对偶性 (Duality) 的初步概念，即反转态射方向所产生的对偶范畴。 第2章：积、余积与极限、上极限。 积（Products）和余积（Coproducts）是范畴论中描述“组合”和“分离”操作的核心工具。本章深入分析了这些构造的通用性质 (Universal Properties)，这使得它们独立于具体集合或空间的实现而存在。我们随后推广到更一般的概念——极限 (Limits) 和上极限 (Colimits)，包括核（Kernels）、陪核（Cokernels）、等化子（Equalizers）和余等化子（Cofinalizers）。这些工具为后续研究代数结构提供了必需的语言。 第3章：函子与自然变换。 函子 (Functors) 是连接不同范畴的“桥梁”。本章区分了共变函子 (Covariant Functors) 和反变函子 (Contravariant Functors)，并详细讨论了它们如何保持结构。在此基础上，我们引入了自然变换 (Natural Transformations)，这是衡量两个函子之间映射关系“一致性”的度量。自然变换的引入是理解数学对象间结构保持映射的关键。 第二部分：特殊代数结构的范畴化 (Categorization of Specific Algebraic Structures) 在奠定范畴论基础后，本书开始将这些工具应用于经典代数领域。重点在于识别和描述特定代数结构范畴的性质。 第4章：群、环与模的范畴。 我们将群范畴 ($mathbf{Grp}$)、环范畴 ($mathbf{Ring}$) 和模范畴（例如，对于特定环 $R$ 的左模范畴 ${}_Rmathbf{Mod}$）作为研究对象。详细分析了这些范畴中积、余积（如直积与自由积/直和）的具体表现形式。对于模范畴，我们将探讨同态群 (Hom-groups) 的性质，并展示如何利用范畴论的观点来理解短正合序列。 第5章：张量积的范畴视角。 张量积 (Tensor Products) 在线性代数和代数拓扑中至关重要。本章采用范畴论的观点，定义了张量积的通用性质，证明了其作为特定双函子的右伴随的存在性。我们深入探讨了双模范畴 (Bimodule Categories) 及其与环的张量积运算之间的深刻联系。 第6章：阿贝尔范畴：一个优良的框架。 阿贝尔范畴（Abelian Categories）是提供足够“好”结构的范畴，其中极限和上极限的构造可以与核、陪核的运算完美结合。本章详细介绍了阿贝尔范畴的公理化定义，证明了模范畴是阿贝尔范畴的典范例子，并讨论了蛇形引理 (The Snake Lemma) 在该框架下的普适性。 第三部分：函子与同构的深刻联系 (Deep Connections: Adjunctions and Equivalences) 本书的最后一部分聚焦于范畴论中最强大的概念之一：伴随关系 (Adjunctions)，这是数学中许多对偶和构造背后的深层原因。 第7章：伴随函子 (Adjoint Functors)。 伴随关系是衡量两个函子之间“最接近”关系的工具。我们详细定义了左伴随函子和右伴随函子，并展示了许多基础构造（如自由对象、遗忘函子、张量化）本质上都是伴随关系的一种体现。通过具体的例子，读者将理解为什么伴随关系在代数几何、代数拓扑和表示论中如此普遍出现。 第8章：等价与嵌入。 讨论了范畴之间的等价 (Equivalence) 概念，它意味着两个范畴在结构上是不可区分的。我们将研究全纯忠实函子 (Fully Faithful and Essentially Surjective Functors)。此外，本章还探讨了嵌入 (Embeddings)，例如将群范畴嵌入到环范畴中，以及如何通过表示定理 (Representation Theorems) 来研究抽象代数结构。 第9章：应用实例：代数拓扑的初步接触。 作为对前述理论应用的展示，本章简要介绍代数拓扑中的基础概念，如基本群 $pi_1(X)$ 和同调群 $H_n(X)$ 的构造。我们将证明这些构造如何自然地源于特定的函子和函子间的伴随关系，从而展示范畴论在连接代数与拓扑学中的强大威力。 --- 本书特点 结构统一性： 强调范畴论语言作为描述所有代数结构（无论是否涉及非交换性或特定代数结构）的统一平台。 严格的证明： 所有关键定理均提供详尽的、自洽的证明，适合严肃的数学学习者。 范畴化思维训练： 旨在培养读者以通用、抽象的方式思考代数问题的能力，而非仅仅停留在具体元素的运算层面。 丰富的习题： 每章末尾提供分级习题，从概念验证到高级研究问题的探索，确保读者能够巩固所学知识。 本书是深入理解现代抽象代数、拓扑学以及数学基础理论的理想参考书目，特别适合研究生课程使用，为后续研究代数几何、表示论或更高级的代数结构（如非交换几何的某些前导概念）打下坚实的基础。

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坦率地说，初次翻开这本书时，我有点被它那密集的符号和略显“硬核”的开篇所震慑。它不像市面上很多科普读物那样用大量比喻来稀释核心概念，而是直奔主题，对非交换双代数（Hopf algebras）的结构进行了非常严谨且深入的探讨。我过去阅读过一些关于量子群的文献，但理解总觉得隔了一层纱，直到读到这本书中关于辫子关系（Braid relations）和范畴论解释的部分，才豁然开朗。作者在处理张量积和同调理论时，展现了极高的数学功底，每一个引理和推论的推导都逻辑严密，毫不含糊。这绝不是一本适合“快速浏览”的书，它要求读者具备扎实的线性代数和基础抽象代数背景。对于研究生或正在进行相关研究的学者而言，这本书提供了一个极佳的参考框架，尤其是在处理高维表示论和代数几何交叉领域的问题时，它提供的计算工具集是无价之宝。它更多的是一本工具手册和理论深度挖掘的结合体，而非入门教材。

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我带着对代数几何中代数簇结构解析的兴趣来阅读此书，结果发现它在非交换几何这个前沿领域提供了非常实用的计算策略。让我感到惊喜的是，书中对于非交换Sklyanin代数及其表示的研究，采取了一种自底向上的构建方式。它没有回避复杂性，而是将其拆解为一系列可管理的计算步骤。例如，书中对于如何利用特定的微分算子来生成特定理想的元素，所给出的算法细节清晰得令人发指，甚至包含了伪代码级别的描述，这对于我这种更偏向计算实践的研究者来说，简直是雪中送炭。与市面上那些只给出结论、不讲推导过程的书籍不同，这里的每一步推理都经得起推敲。它更像是某位资深教授多年的研究笔记被系统化地整理出来，充满了经验的沉淀，而非教科书式的标准流程。读完后，我立刻尝试在自己的研究问题中复现了其中一个关于非交换Weyl代数的计算，效果显著。

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这本书最让我印象深刻的地方，在于它对“应用”的定义非常广阔，远远超出了传统意义上的工程应用。它深入探讨了在拓扑场论（TQFT）背景下，非交换环结构如何自然涌现，以及如何利用这些结构进行不变量的计算。我发现作者在介绍黎曼曲面上的模空间与代数几何之间的联系时，行文风格突然变得非常灵动，仿佛在引导我们进行一场思想漫步。特别是关于如何利用非交换流形的概念来重构某些物理模型的路径积分，那一段的描述极具启发性。我能感受到作者的激情所在——他试图用计算的视角去理解宇宙深层的对称性。虽然某些章节的难度足以让人停下来深思良久，但每当攻克一个难点后，那种成就感是无与伦比的。这本书成功地将理论物理的深邃与代数计算的精确性编织在了一起，为跨学科研究者提供了一座坚实的桥梁。

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这本《计算非交换代数及其应用》简直是打开了我的新世界大门！我原本以为非交换代数是个只存在于理论层面的晦涩学科，但这本书的视角非常新颖，它聚焦于如何将这些抽象概念“落地”到实际的计算问题上。作者在引言部分就非常坦诚地指出了传统教材的局限性，即过分依赖纯粹的代数证明而忽略了算法层面的实现。书中对格罗布纳基（Gröbner bases）在非交换环上的推广，比如如何利用它们来解决理想的理想问题，讲解得细致入微。我特别喜欢它将抽象的模理论与具体的计算机代数系统（CAS）结合起来的方式。读到关于自动定理证明的部分时，我简直手不释卷，它展示了如何用计算工具来验证那些原本需要花费数周手工推导的复杂定理。这本书的价值不仅在于传授知识，更在于提供了一种全新的、更具操作性的研究范式，让那些对应用数学感兴趣的读者也能找到切入点，而不是仅仅停留在概念的海洋里打转。它真正做到了“计算”与“非交换代数”的完美融合，极大地拓宽了我对现代代数应用潜力的认知。

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这本书的篇幅虽然可观，但其语言风格却保持了一种令人赞叹的简洁与高效。它对有限群的表示论在非交换代数背景下的推广，进行了非常精妙的处理。我过去总是在有限群的表示论和非交换代数的结构之间感到一种断裂感，但这本书成功地弥合了这种鸿沟。作者在处理根系和Weyl群的非交换推广时，巧妙地引入了某些特定矩阵群的性质，使得原本抽象的代数构造变得可以被可视化和操作。我特别欣赏它在阐述某些代数结构同构性时，所采用的对比分析手法——先给出经典情形，再展示非交换情形下的微妙变化和新产生的复杂性。这本书的叙事节奏把握得很好，它不会让读者因为信息过载而感到疲惫，而是通过层层递进的难度，逐步引导我们适应非交换世界的逻辑。它不只是描述了一个领域，它是在教授一种思考复杂结构的方式。

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