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出版者:American Mathematical Society

作者:Lando, Sergei K.

出品人:

页数:148

译者:

出版时间:2003

价格:262.00元

装帧:

isbn号码:9780821834817

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

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好的，这是一份针对您提供的书名《Lectures on Generating Functions》而撰写的，内容详尽、风格自然的图书简介。这份简介将聚焦于与“生成函数”概念相关但又不直接描述该具体书籍内容的领域，力求深入且具有学术气息。 --- 《组合数学的奥秘与应用：从离散结构到解析表达》 （一部关于现代组合学、离散结构理论与高级函数表达方法的综合论述） 图书导言： 在数学的广阔疆域中，离散结构的研究构成了现代科学与工程的基石。从对有限集排列组合的计数，到复杂网络拓扑的分析，再到算法效率的严谨证明，组合数学以其独特的视角揭示了自然界和人工系统背后的基本规律。本书并非对某一特定教材的重复解读，而是致力于在更广阔的理论框架下，深入探讨连接离散世界与连续分析世界的关键桥梁——函数表达的强大力量及其在复杂系统建模中的应用。 我们深知，面对一个信息爆炸的时代，任何单一的数学工具都不足以解决所有问题。因此，本书的叙事主线围绕着如何利用解析技巧来解决组合难题展开。我们将构建一个多维度的知识体系，从基础的集合论和计数原理出发，逐步攀升至更高阶的生成函数理论的宏伟殿堂，但我们的视角将侧重于这些理论的实际构建、推广与在不同领域间的迁移应用，而非仅仅停留在生成函数本身的代数定义与基本操作上。 第一部分：离散结构的严谨基础与计数范式转型 本部分旨在为读者打下坚实且富有洞察力的基础。我们首先回顾了古典组合学的核心命题，如排列、组合、鸽巢原理及其在初等概率论中的应用。然而，本书的重点迅速转向结构导向的计数。我们将详细剖析各种著名的离散结构——例如有标签和无标签树、有向无环图（DAGs）的特定路径计数、以及特定限制下的整数划分问题。 我们将探讨指数型生成函数（Exponential Generating Functions, EGFs）在处理具有可区分元素的组合对象（如特定结构的排列、标记图）中的核心作用，并将其与普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OGFs）在处理不可区分元素问题上的差异进行细致的对比分析。更进一步，我们将介绍如何通过组合结构操作（Composition Operators），如“序列（Sequence）”、“集合（Set）”、“循环（Cycle）”等，来系统地推导复杂对象的计数公式，这代表了一种从结构定义直接映射到解析表达式的强大范式。 第二部分：生成函数的推广视角与解析工具箱 本书的第二部分将视角从传统的单变量 OGFs/EGFs 扩展到更具表达力的函数族，并引入解析工具来处理它们的性质。我们不会局限于形式幂级数（Formal Power Series）的范畴，而是深入探讨其在复平面上的收敛性、渐近行为以及与积分变换的关系。 重点分析对象包括： 1. 多变量生成函数 (Multivariable Generating Functions)： 针对涉及多个相互依赖参数的组合问题的处理，例如，在图论中，同时追踪边数和顶点度数分布的表达式。我们将探讨如何利用多元函数理论中的偏导数和泰勒展开来提取特定系数。 2. Lambert 级数与 q-级数： 深入研究 $q$ 在组合学中的深远影响，特别是在整数划分、可交换的组合对象计数以及模形式（Modular Forms）理论的边缘应用。我们将解析 $q$-二项式系数（高斯组合数）的组合意义及其与矩阵理论的隐秘联系。 3. 使用解析工具进行渐近分析： 这是本书区别于纯代数处理的关键所在。我们将详细介绍鞍点法（Saddle Point Method）和留数定理（Residue Theorem）在从生成函数中提取系数的渐近行为方面的威力。例如，如何精确地确定一个大型随机图的结构属性（如最大连通分量的大小）的概率分布的增长速度。 第三部分：生成函数在现代应用中的迁移与桥梁 本部分将理论与前沿应用相结合，展示函数表达能力如何在不同的科学领域中发挥作用。 1. 概率与随机过程： 我们探讨如何利用生成函数来表示随机变量的矩生成函数和概率母函数。这不仅简化了对复杂随机和链的分析，更重要的是，它提供了一种动态的视角来研究过程的长期行为，例如在排队论模型（如 $M/M/1$ 队列）中，通过求解生成函数的 poles 来确定稳态概率。 2. 算法分析与复杂度理论： 在计算机科学领域，生成函数是分析算法效率的“自然语言”。本书将展示如何通过生成函数来精确地计算动态规划算法的运行次数，或者分析数据结构（如随机搜索树的深度）的期望深度。我们将侧重于如何将算法的递归关系直接转化为函数方程，并通过函数分析技术求解这些方程，从而得出精确的平均情况复杂度。 3. 代数组合与结构计数的新兴方向： 探讨更现代的计数技术，如取样法（Extracting Coefficients）、代数分析在处理不可解或高度复杂的结构（如非平面图的特定嵌入）时的前沿尝试。这部分内容将引导读者思考，当传统的代数方法受阻时，如何利用函数的全局性质进行突破。 总结与展望： 本书旨在培养读者从“计数”的微观操作提升到“表达”的宏观洞察。通过对生成函数作为一种通用解析表达语言的深入探讨，读者将获得一套强大的工具集，不仅能够解决已知的组合问题，更能主动构建和解析未来出现的复杂离散系统模型。这是一次对数学严谨性、解析深度与应用广度的全面探索之旅。 ---

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坦率地说，这本书的阅读门槛不低，但它的价值恰恰在于其对数学深度和广度的要求。我发现它在处理一些高阶函数方程的求解时，展现出一种近乎冷峻的美感。书中对某些特定序列的渐近行为分析，采用了非常现代的分析工具，这使得全书的理论深度超越了一般的入门教材。尤其是在探讨周期性问题的生成函数表示时，作者引入的模块化结构，让我对如何系统地分解复杂问题有了全新的认识。这本书更像是一本研究指南，它不仅涵盖了基础知识，还深入探讨了当前研究中的一些未竟之处。对于那些希望将生成函数作为核心工具，并准备从事更前沿研究的人来说，这本书提供的视野和方法论是无价的财富。它要求你思考，而非仅仅记忆。

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阅读此书的过程，体验上更像是在跟随一位经验丰富的向导，穿越一片布满数学奇观的森林。作者的语言风格非常线性流畅，几乎没有冗余的赘述，每一个定理的引入都服务于最终的目标。我特别赞赏书中对生成函数在概率论中应用的阐述，那种将随机过程的演化用幂级数的系数变化来直观表达的方式，极具洞察力。它不仅是关于计算的，更是关于建模的艺术。书中的图示和推导过程极为清晰，即使面对涉及多个变量的复杂积分，也能通过合理的变量替换和截断，最终导向简洁的结果。这本书成功地将抽象的代数概念“实体化”了，让读者真切感受到数学结构如何精确地描述现实世界中的计数和概率现象。对于想提升自己数学建模能力的人，这本书提供的思维范式是革命性的。

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这本书的结构安排颇具匠心，它没有急于展示那些最炫目的结果，而是耐心地为读者打下坚实的基础。开篇部分对形式幂级数的代数结构进行了非常彻底的梳理，这使得后续引入卷积、拉普拉斯变换等工具时，读者不会感到突兀。我个人认为，这本书最宝贵的一点在于其对“例子”的选择与解析。那些例子并非信手拈来，而是经过精心挑选，它们代表了该理论在不同领域中最经典的体现。例如，对Dyck路径和Catalan数的处理，不仅计算过程详尽，更重要的是，它解释了为什么生成函数在这个特定问题中是“自然”的选择。对于那些渴望从“知道公式”跨越到“理解原理”的读者，这本书提供了坚实的阶梯。它不是在告诉你答案，而是在教会你如何通过优雅的数学语言去构建自己的答案。

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这部著作，初捧读时，其厚重感和严谨的排版便予人深刻印象。内容上，它似乎将数论中的深刻洞见与组合数学的精巧构造熔于一炉，尤其是在处理那些看似杂乱无章的计数问题时，作者展现出了一种近乎艺术的提炼能力。那些关于幂级数展开的技巧，仿佛是打开了通往更高维度的数学空间的钥匙，使得原本晦涩难懂的递归关系变得清晰可见。我特别欣赏其中对特定函数族性质的探讨，那种步步为营、层层递进的论证结构，即便初学者在仔细研读后，也能窥见其数学之美的冰山一角。它不是那种快餐式的读物，更像是一部需要细细品味的经典，每一页都凝聚着作者多年的心血与沉思。对于任何对离散结构抱有浓厚兴趣的研究者来说，这本书无疑是工具箱中一把锋利无比的手术刀，能帮助我们在复杂的数学迷宫中找到最直接、最优雅的路径。

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读完这本书，我最大的感受是作者对“形式”与“意义”之间关系的深刻理解。这本书在讲解生成函数的应用时，似乎总是能精准地把握住那个微妙的平衡点，既不至于陷入纯粹的符号游戏，又避免了过度依赖直觉的松散。例如，书中对某些特定积分变换的介绍，简直是教科书级别的范例，它展示了如何利用微积分的工具来解构离散问题。我记得其中有一章专门讨论了平面分成的计数问题，作者没有简单地给出结论，而是通过引入一个巧妙的辅助函数，将看似不相关的几何对象与代数结构联系起来，那种豁然开朗的感觉令人难忘。这本书的叙述风格带着一种老派学者的风范，精确、克制，但字里行间又流露出对数学世界无尽的热爱。它要求读者拿出足够的专注力，但回报的知识深度绝对值得这份投入。

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虽然例子不少，但就是喜欢不起来。

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