Basic Elements of Real Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Protter, Murray H.

出品人:

页数:286

译者:

出版时间:1998-10

价格:$ 84.69

装帧:

isbn号码:9780387984797

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深入几何学核心：探索欧几里得空间与拓扑结构 图书名称： 几何直觉与空间理解：欧几里得几何的严谨构建与拓扑学的直观引入 目标读者： 渴望建立坚实几何基础的数学专业本科生、研究生，以及对空间结构有深刻兴趣的理工科研究人员。 内容概述： 本书旨在为读者提供一套严谨而富有洞察力的欧几里得几何学（$mathbb{R}^n$ 空间）的系统性阐述，并在此基础上，自然而然地过渡到现代数学中至关重要的拓扑学初步概念。我们避免了仅仅停留在初等几何的直观层面，而是侧重于如何用分析学的语言（范数、距离、内积）来精确描述空间中的“形状”和“位置”。 全书结构围绕着对“空间”这一基本概念的层层剖析展开：从最直观的向量空间到度量空间，最终迈向拓扑空间的抽象化。我们坚信，对几何学的理解，必须建立在坚实的代数和分析工具之上。 --- 第一部分：欧几里得空间 ($mathbb{R}^n$) 的分析基础 (约 500 字) 本部分是全书的基石，我们将 $mathbb{R}^n$ 视为一个具有丰富结构的集合，而非仅仅是坐标点的简单堆砌。 第一章：向量空间与仿射结构 我们首先回顾并深化对 $mathbb{R}^n$ 作为实数域上的向量空间的理解。重点探讨基、维数、线性变换的矩阵表示，并强调线性子空间（如直线、平面）的定义与刻画。随后，引入仿射子空间的概念，明确区分“直线”与“向量子空间中的直线”之间的区别，为处理几何对象提供精确的代数框架。 第二章：范数、内积与距离 这是连接分析与几何的关键章节。我们系统地研究 $mathbb{R}^n$ 上的标准内积，即欧几里得点积，并导出其诱导的欧几里得范数（$L^2$ 范数）。详细分析了其他重要范数，如 $L^1$ 范数和 $L^infty$ 范数，并利用柯西-施瓦茨不等式证明其一致性。通过范数，我们严格定义了距离函数（度量），并阐述了距离在几何直觉中的体现。 第三章：正交性与坐标变换 深入探讨正交性在 $mathbb{R}^n$ 中的核心地位。引入格拉姆-施密特正交化过程，用以构建正交基。重点分析正交矩阵和旋转矩阵的性质，展示它们如何保持长度和角度不变。最后，我们探讨正交分解定理，并将坐标变换（如刚体运动）置于内积空间的框架下进行考察。 --- 第二部分：空间的局部结构与收敛性 (约 550 字) 在建立了距离的概念后，本部分将焦点转向局部性质，这是泛化到更抽象空间（如拓扑空间）的必要桥梁。 第四章：开集、闭集与邻域 基于欧几里得距离，我们严格定义开球和闭球。利用这些基本集合，形式化地定义了 $mathbb{R}^n$ 中的开集、闭集及其边界、聚点（极限点）、内点和外点。详细分析了开集的并集性质和闭集的交集性质。本章强调了“邻域”的概念，它是后续拓扑学定义的基础。 第五章：序列收敛与紧致性 我们将序列（数列）的收敛性置于度量空间的背景下讨论。详细分析 $mathbb{R}^n$ 中序列的收敛性等价于其各个分量序列的收敛性。重中之重是紧致性的引入。我们证明了 Heine-Borel 定理，即 $mathbb{R}^n$ 中的有界闭子集是紧致的，并探讨了紧致集的性质，例如连续函数在紧集上的最大值和最小值定理。 第六章：连续性与等距映射 用邻域和 $epsilon-delta$ 语言重申函数在 $mathbb{R}^n$ 上的连续性定义。重点分析了多变量函数中的路径依赖性。随后，我们引入等距映射（Isometry），探讨它们如何在保持距离的前提下，在欧几里得空间中进行映射，这是度量空间理论中保持“几何结构”的最强条件。 --- 第三部分：迈向抽象空间：度量空间与拓扑学的雏形 (约 450 字) 本部分将前两部分的经验进行抽象化，引导读者理解如何将 $mathbb{R}^n$ 的性质推广到更广泛的空间。 第七章：度量空间的一般化 定义度量空间 $(X, d)$，将 $mathbb{R}^n$ 视为一个特定的度量空间。详细讨论各种有趣的度量，例如离散度量、最大值度量等，用以展示几何直觉的局限性。分析了度量空间中的开集、闭集、收敛序列和完备性概念。 第八章：拓扑学的起源：开集族的定义 在本章，我们从度量空间中导出拓扑空间的概念。我们不再依赖于“距离”，而是直接使用“开集族” $ au$ 来定义空间的结构。详细阐述了开集族的三个公理，并说明度量空间是如何自然地诱导出拓扑结构的。我们定义了开球的抽象概念，并分析了 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑。 第九章：基础概念的抽象化 利用拓扑空间的框架，重新审视连续性、紧致性和连通性的定义。我们将拓扑连通性作为一种“不被分割”的性质，并与度量空间中的路径连通性进行对比和辨析。最后，我们探讨了商拓扑的初步概念，为理解流形等更高级结构做好铺垫。 --- 全书特色： 本书的独特之处在于其“分析先行，几何随后”的教学策略。我们不将欧几里得几何视为公理系统的结果，而是视为在完备度量空间上建立起来的、具有特定内积结构的分析对象。这种视角使读者能够更自然地理解为何拓扑学的引入是必要的，因为拓扑学正是去除内积（距离）后，保留局部结构定义的一种有效途径。全书包含大量的几何直观的解析证明，辅以严谨的数学论证，确保读者在获得抽象理解的同时，不失对具体空间的把握。

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如果用一句话来概括这本书的风格，那便是“不留情面地精确”。它不是一本旨在取悦读者的书，而是一部旨在构建严密数学大厦的蓝图。在处理“收敛性”和“拓扑结构”的交叉领域时，作者表现出了惊人的洞察力。例如，当他讨论巴拿赫不动点定理时，他对完备性的强调，以及如何利用这个完备性来保证迭代过程的收敛，简直是教科书级别的范例。书中几乎没有那种“你懂的”或者“显而易见”的跳跃。每一个论证步骤都像是用尺子量过一样精准。然而，也正是这种对精确性的极致追求，使得这本书在阅读体验上略显“干涩”。如果你希望在阅读中穿插一些历史轶事，或者了解这些理论是如何在历史上被发现和完善的，那么这本书无法提供这些“调味品”。它只提供核心的、永恒的数学真理，要求读者自己去品味其中的“味道”。

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这本书的行文节奏对于习惯了更“平易近人”的分析教材的读者来说，可能需要一个适应期。我之前看过一些号称“初学者友好”的实分析书籍，它们通常会用大量的例子和图示来软化那些硬核的数学概念。然而，这本书完全走了另一条路——它相信读者的基础已经足够扎实，可以直面核心的理论构建。它对“收敛性”的讨论，从序列、函数序列到更一般的网和滤波器，层层递进，逻辑链条编织得极其精密，几乎找不到任何可以被质疑的逻辑漏洞。我特别欣赏作者在处理“一致连续性”与“紧致性”关系时的那段论述，它避免了使用任何不必要的类比，而是纯粹依靠集合论的语言将其阐述清楚。这种纯粹性是它的魅力所在，但同时也意味着它对读者的数学成熟度提出了较高的要求。对于那些刚刚接触实分析，或者希望从微积分向更深层次数学过渡的学生而言，这本书可能会显得有些陡峭，需要搭配其他辅助材料，比如讲解更基础概念的参考书，才能更好地“消化”它的内容。

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我个人最喜欢这本书的地方在于它对“测度论”的引入和展开。许多教材为了保持篇幅或避免过度复杂化，往往只是蜻蜓点水地介绍勒贝格测度的基本性质。但这本书则花费了大量的篇幅，非常扎实地从卡拉索多里外测度开始，一步步构建起勒贝格测度空间。作者在证明$sigma$-可加性时所采用的构造方法，清晰、优雅，并且具有极强的说服力。它不仅仅告诉你“是什么”，更细致地展示了“为什么必须是这样”。在阅读这部分内容时，我感觉自己不是在被动接受知识，而是在亲身参与数学理论的建立过程。书中对于“可测函数”的定义和积分的构建，也遵循了严格的递进顺序，从简单函数到非负函数再到一般可测函数，每一步都铺垫得恰到好处。这种结构使得读者在后续学习泛函分析或概率论时，会发现自己对积分的理解远比那些只学过黎曼积分的同行要深刻和稳固得多。

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这本书的封面设计得非常朴素，那种米白色的纸张，带着一点点年代感的纹理，让人一眼就能感受到它散发出的严谨气息。我是在准备一门高级数学分析课程时偶然接触到它的，当时我的教授推荐了它作为补充读物。坦白说，初次翻开时，我感到有些望而却步。那些密密麻麻的定义和定理，像是一堵堵需要耐心攀登的高墙。特别是关于拓扑空间和度量空间的引入部分，作者的叙述方式非常“学术”，几乎没有多余的寒暄或引导，直接就将读者抛入了那个抽象的世界。我记得我在阅读关于“紧集”的定义时，停下来足足思考了半个小时，试图将抽象的符号对应到更直观的几何图像上，但书本本身并没有提供太多这方面的帮助。它更像是一位严厉的导师，要求你自行去领悟数学的内在美感。虽然学习过程充满挑战，但每当成功推导出一条重要的引理时，那种成就感是无与伦比的。这本书的习题设计也是一流的，它们不是简单的计算练习，而是对概念理解的深度检验，许多习题的难度甚至超过了期末考试的平均水平，迫使你必须真正理解每一个“epsilon”和“delta”背后的含义。

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这本书的价值，很大程度上体现在它对“标准”的设定上。对于那些立志要在数学领域深耕的人来说，掌握如何像这本书的作者一样思考问题，是迈向专业研究者的重要一步。我记得有一次，我在尝试解决一个关于序列极限的证明题时卡住了，翻阅了其他几本参考书都未能获得启发。最后回到《Basic Elements of Real Analysis》，作者在证明“有界单调序列必收敛”时所使用的对角线论法的一个变体，瞬间点亮了我的思路。这本书的奥秘在于，它将那些看似复杂的证明过程，解构成了最基本、最不可再分的逻辑单元。它教会你的不是具体的技巧，而是一种**数学思维的底层架构**。这种底层架构一旦建立起来，应对其他更高级的数学领域时，往往能起到事半功倍的效果。毫不夸张地说，这本书更像是一本“内功心法”，而不是一本招式手册，需要时间去打磨，但一旦练成，受益终身。

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