K-Theory and Algebraic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Jacob, Bill/ Rosenberg, Alex

出品人:

页数:0

译者:

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价格:1518.00元

装帧:

isbn号码:9780821814987

丛书系列:

图书标签:

• K-理论
• 代数几何
• 同调代数
• 代数拓扑
• 层论
• 射影几何
• 模论
• 代数数论
• 复代数
• 上同调理论

K-理论与代数几何：跨越抽象与具象的桥梁 《K-理论与代数几何》 一书，聚焦于代数K-理论这一深刻而多维度的数学分支，并系统地探讨其在代数几何领域中的应用与互渗。本书旨在为对高等代数拓扑、代数几何以及相关领域有深入兴趣的研究者和高年级研究生提供一份详尽、严谨且富有洞察力的导览。我们不寻求对K-理论所有细枝末节的包罗万象，而是精心挑选了那些在现代几何理论构建中占据核心地位的概念、工具和结果，并通过大量的例子和详细的证明，揭示其内在的结构与美感。 全书的结构设计遵循由基础到前沿的逻辑递进。开篇部分，我们将建立严谨的数学基础。这涉及对范畴论的复习和深化，特别是针对模范畴、链复形范畴以及投影模范畴的讨论。在此基础上，我们将正式引入K-群的定义，包括同伦K-群 $K_0(X)$ 和稳定K-群 $K_1(X)$（尽管在几何语境下，$K_0$ 占据主要地位）。我们详细阐述了由菲尔德（Bass）和塞里（Serre）发展的经典构造，包括矩阵代数的稳定化过程，以及如何利用内建函子（Inclusion Functors）和 समझौ同态（Functorial Homomorphisms）来构建K-群的精确序列。对白塞德（Bass-Serre）定理的深入剖析是本节的重点，它揭示了K-群如何衡量一个环或代数是否是“正则的”或“简单域”的推广。 随后，本书将核心注意力转向代数几何的视角。我们认为，几何对象的拓扑或代数结构是通过其上的凝聚层（Coherent Sheaves）来编码的。因此，一个关键章节专门探讨凝聚层范畴 $ ext{Coh}(X)$ 及其相关结构。我们详尽地解释了如何从 $ ext{Coh}(X)$ 构造出代数K-理论 $K(X)$，这正是代数几何中K-理论的精髓所在。本书强调了切丛（Vector Bundles）与凝聚层之间的紧密联系，并详细论述了欧几里得定理（The Euclidean Theorem for Vector Bundles）在局部化时的推广。 在介绍完基础结构后，我们进入理论的核心冲突与融合——切割原理与陈示理论（Chern Characters and Motivic Cohomology）。这是连接K-理论与经典拓扑学和拓扑K-理论的关键纽带。我们严格推导了拓扑陈示（Topological Chern Classes）如何通过连通谱序列（The Connective Spectral Sequence）被“代数化”。特别是，我们详细考察了戴维多夫（Atiyah-Hirzebruch）谱序列在代数K-理论环境下的变体，以及兰德（R. Landweber）对模空间上的K-理论的早期工作。本书清晰地梳理了陈示同态（Chern Character Map） $ ext{ch}: K(X) o H^(X; mathbb{Q})$ 的构造及其性质，包括其在生成函数上的表现。 为了应对代数几何中非奇异簇（Smooth Varieties）之外的更一般情况，本书引入了导范畴（Derived Categories）的概念。我们花了大量篇幅介绍贝娄（Beilinson）关于导范畴与K-理论之间深层关系的猜想。虽然贝娄猜想的完整证明涉及极其高深的工具，本书通过分析贝娄复形（Beilinson Complexes）的构造，展示了如何利用导范畴中的全纯投影（Full Projections）来重构K-群的计算，尤其是在光滑射影簇（Smooth Projective Varieties）上的情形。我们还探讨了导张量积（Derived Tensor Product） $otimes^L$ 在K-理论中的作用，以及它如何替代传统的张量积来保持K-理论的某些精确性。 本书的另一重要维度是局部化与精确性。我们深入研究了图申斯基（G. W. Whitehead）的精确三角形概念，并将其推广到K-理论的背景下，形成了K-理论的切割序列（The Cutting Sequence for K-theory）。这部分内容集中在局部化定理的应用，例如如何通过在特定理想上的局部化来计算非连通流形的K-群。我们详细分析了环的K-理论与模的空间的K-理论之间的关系，特别是对于完备局部环上的代数结构。 在接近尾声时，本书将目光投向了K-理论的不变量性和黎曼-罗赫定理的推广。我们回顾了格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理（Grothendieck-Riemann-Roch Theorem, GRR）的代数版本。这个定理不仅是一个计算工具，更是揭示了K-理论与相交理论（Intersection Theory）之间深刻联系的里程碑。本书提供了蒂埃里（Thierry M. Mather）对GRR在代数簇上推广的清晰阐述，重点强调了推前映射（Pushforward Map）在同态理论中的作用，并解释了冯·德·格拉夫（Van de Graaf）关于谱序列中修正项的贡献。 最后，我们探讨了K-理论在模空间理论中的前沿应用。这包括对模空间$mathcal{M}_{g,n}$ 上陈示类和K-理论的分析，以及与弦理论中D-膜相关的代数结构。我们简要介绍了拓普斯（Topos Theory）与K-理论的交叉点，特别是如何利用层化（Sheafification）的概念来处理更一般的非交换代数几何中的K-理论。 全书的风格力求清晰、精确，避免不必要的术语堆砌，但同时确保数学内容的严谨性。大量的图示和具体例子被穿插其中，以帮助读者直观地理解那些高度抽象的概念，例如如何构造一个稳定等价类，或者如何计算一个简单曲线上的 $K_0$ 群。本书适合那些已经熟悉交换代数和基础代数拓扑，并渴望将这些知识应用于解决前沿代数几何问题的研究人员。它是一份通往深邃数学世界的坚实地图。

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老实说，我花了不少时间才消化完这本书的前三分之一。这本书的阅读体验是“挑战与回报并存”。它的叙述风格非常精炼，数学语言的运用达到了教科书的典范水平——严谨到几乎没有可以被误解的地方。但正是这种极致的严谨性，要求读者必须全神贯注，任何一页的疏忽都可能导致后续内容的理解出现断层。我感觉作者似乎默认读者已经对某些高等代数和拓扑的概念了如指掌，所以在很多地方，推理的跳跃性比较大。不过，一旦你成功跨越了那些初始的障碍，你会发现作者构建的逻辑框架极其优雅和强大。它不仅仅是在罗列定理和证明，更像是在展示一幅宏大的数学蓝图，展示了 K 理论如何作为连接拓扑和代数几何的桥梁，以一种极为统一和深刻的方式解决了看似不相关的问题。对于需要快速查阅某个特定构造的专业人士来说，索引和符号系统的完备性也值得称赞。

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这本书的封面设计很吸引人，那种深邃的蓝色和几何图形的交织，让人立刻联想到抽象而迷人的数学世界。我最初拿起它，是希望能找到一些关于代数拓扑中 K 理论基础知识的清晰阐述。然而，深入阅读后，我发现它远不止于此。作者似乎非常注重将 K 理论的抽象概念与更具体的代数几何图景联系起来。书中对向量丛、准凝聚层这些核心概念的讲解非常细致，尤其是在处理那些需要高深代数背景才能理解的定理时，作者会非常耐心地引导读者一步步建立起直观的理解。我特别欣赏它在引入一些复杂的构造，比如陈示法或某些特定范畴的建构时，并没有急于跳过中间步骤，而是尽可能地给出了详实的动机和背景介绍。对于那些已经掌握了基础代数几何知识，但想在 K 理论领域深耕的研究者来说，这本书无疑提供了一个坚实的跳板，它不会让你感到迷茫，反而会激发你探索更深层次问题的欲望。

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我最欣赏这本书的一点是它对“动机性”的强调，尽管是用一种非常形式化的方式呈现的。作者并非只是展示了 K 理论如何强大，而是反复回到一个核心问题：我们为什么要定义这些复杂的结构？在引入诸如 $K_0$ 群和 $K_1$ 群的构造时，书中会穿插一些简短的论述，解释这些构造是如何自然地从向量丛的扩张和收缩等几何直觉中抽象出来的。这使得枯燥的代数操作有了一个可以锚定的几何意义。例如，它对 Bott 周期的处理，不是简单地给出一个公式，而是将其置于一个更广阔的范畴同构的背景下进行解释。对于希望建立起完整数学世界观的读者来说，这种“形式化背后的几何洞察力”比单纯的技巧堆砌更有价值。这本书在我书架上的位置，更像是一本参考手册，每当我在研究新的代数几何课题时，我都会翻阅它来确认某个基本构造的“最纯粹”定义和性质。

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这本书的排版和公式的清晰度是我见过的顶尖水平。在处理像 Grothendieck 范畴或者导出范畴这类容易产生混淆的结构时，作者在符号的使用上表现出了惊人的自洽性。我以前在其他教材中经常遇到的问题是，同一个符号在不同章节中含义会发生微妙的偏移，导致我需要不断地回溯检查。在这本书里，这种现象极少发生，使得我可以更专注于数学内容的本身，而不是与排版或符号歧义做斗争。特别是关于谱序列的应用部分，它将 L-函数的某些性质通过 K 理论的视角重新审视了一遍，这种跨领域的整合能力非常令人印象深刻。虽然全书的论证都很密集，但阅读体验因为其高质量的呈现而得到了极大的提升，这对于长时间的深度阅读来说，是不可或缺的品质。

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作为一名侧重于微分几何的学者，我尝试用这本书来拓宽我在代数框架下的视野。这本书的视角是极其“代数化”的，它似乎对那些依赖于解析工具或光滑流形直觉的解释持保留态度。它更倾向于使用范畴论的语言来定义和操作 K 理论的元素和态射。我发现书中关于如何从拓扑 K 理论过渡到代数 K 理论的章节写得非常具有启发性，尤其是对 Milnor K 理论和 Higher Chow 群的连接部分的探讨。那部分内容对于理解现代代数几何中关于循环层和 K 理论之间的深层关系至关重要。虽然它没有提供大量的“开胃小菜”式的例子，但每一个出现的例子都承载着极高的信息量，是理解后续定理的关键钥匙。这本书无疑是写给那些致力于在代数几何前沿工作的严肃学习者，它不适合作为入门读物，但却是深入研究的必备工具箱。

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